Introducción al cálculo y al análisis matemático / Richard Courant y Fritz John ; [versión española: Saul Hahn Goldberg, Rolando V. Jiménez Domínguez, José S. Florio].
Idioma: Español Lenguaje original: Inglés Editor: México : Limusa, 1971Otra clasificación: 00A05 (26-01)Contenido CAPITULO 1 Introducción 1.1 El continuo de números a. El sistema de números naturales y su extensión. Numeración y medición, [26] b. Números reales e intervalos encajados, [31] c. Fracciones decimales. Bases distintas a la de diez, [33] d. Definición de vecindad o entorno, [36] e. Desigualdades, [36] 1.2 El concepto de función [41] a. Función-Gráfica, [42] b. Definición del Concepto de funciones de una variable continua. Dominio y rango de una función, [45] c. Representación gráfica. Funciones monótonas, [48] d. Continuidad, 55 e. El teorema del valor intermedio. Funciones inversas, [68] 1.3 Las funciones elementales [71] a. Funciones racionales, [71] b. Funciones algebraicas, [72] c. Funciones trigonométricas, [73] d. La función exponencial y el logaritmo, [74] e. Funciones compuestas, productos simbólicos, funciones inversas, [76] 1.4 Sucesiones [79] 1.5 Inducción matemática [80] 1.6 El límite de una sucesión [84] a. an =1/n' 84 b. a2m=1/2m, [85] c. an = n/n+1, 86 d. an=n√p, [87] e. an = an, [88] f. Ilustración geométrica de los límites an y n√p, [89] g. La serie geométrica, 90 h. an = n√n, [92] i. an = √n+1 — √n, [92] j. an = ann, para α > 1, [93] 1.7 Discusión del concepto de límite [93] a. Definición de convergencia y divergencia, [93] b. Operaciones racionales con límites, [95] c. Pruebas intrínsecas de convergencia. Sucesiones monótonas, [96] d. Series infinitas y el símbolo de sumatoria, [98] e. El número e, [100] f. El número п como límite, [103] 1.8 El concepto de límite para funciones de una variable continua [105] a. Algunas observaciones sobre las funciones elementales, [109] SUPLEMENTO [110] 5.1. Los límites y el concepto de número [112] a. Los números racionales, [112] b. Números reales determinados por encaje de intervalos racionales, [113] c. Orden, límites y operaciones aritméticas para números reales, [115] d. Plenitud de continuo de números. Compacidad de intervalos cerrados. Criterios de convergencia, [117] e. Cotas. Extremo superior y extremo inferior, [120] f. Nu-merabilidad de los números racionales, [121] 5.2. Teoremas sobre funciones continuas [123] 5.3 Coordenadas polares [125] 5.4 Observaciones sobre los números complejos [126] PROBLEMAS, [129] CAPITULO 2 Las ideas fundamentales del cálculo integral y diferencial [141] 2.1 La integral [142] a. Introducción, [142] b. La integral como un área, [143] c. Definición analítica de la integral. Notaciones, [145] 2.2 Ejemplos elementales de integración [150] a. Integración de una función lineal, [150] b. Integración de x2, [152] c. Integración de xα para enteros α≠-1, [153] d. Integración de xa para a racional distinto de -1, [156] e. Integración de sen x y cos x, 157 [150] 2.3 Reglas fundamentales de integración [158] a. Aditividad, [158] b. Integral de una suma y de un producto con una constante, [159] c. Estimación de integrales, [160] d. El teorema del valor medio para integrales, [161] 2.4 La integral como función del límite superior (integral indefinida) [165] 2.5 El logaritmo definido mediante una integral [167] a. Definición de la función logaritmo, [167] b. El teorema de adición para logaritmos, [169] 2.6 Función exponencial y potencias [171] a. El logaritmo del número e, [171] b. La función inversa del logaritmo. La función exponencial, [172] c. La función exponencial como límite de potencias, [173] d. Definición de potencias arbitrarias de números positivos, [174.] e. Logaritmos de base arbitraria, [175] 2.7 La integral de una potencia arbitraria de x, [176] 2.8 La derivada [177] a. La derivada y la tangente, [178] b. La derivada como una velocidad, [183] c. Ejemplos de diferenciación, [184] d. Algunas reglas fundamentales para la derivación, [187] e. Derivabilidad y continuidad de funciones, [187] f. Derivadas superiores y su significado, 190, g. Derivada y cociente de incrementos. Notacióh de Leibnitz, [192.] h. El teorema del valor medio del cálculo diferencial, [194] i. Demostración del teorema, [196] j. La aproximación de funciones mediante funciones lineales. Definición de diferenciales, [200] k. Observaciones sobre aplicaciones a las ciencias naturales, 205 [177] 2.9 La integral, la función primitiva y los teoremas fundamentales del cálculo [206] a. La derivada de la integral, [206] b. La función primitiva y su relación con la integral, [208] c. El uso de la función primitiva para la evaluación de integrales definidas, [211] d. Ejemplos, [212] Suplemento. La existencia de la integral definida de una función continua [213] PROBLEMAS [217] CAPITULO 3 Las técnicas del cálculo [223] PARTE A Derivación e integración de las funciones elementales [223] 3.1 Las reglas más simples para derivar y sus aplicaciones [223] a. Reglas de la derivación, [223] b. Derivación de las funciones racionales, [226.] c. Derivación de las funciones trigonométricas, [227] 3.2 La derivada de la función inversa [228] a. Fórmula general, [228] b. La inversa de la n-ésima potencia; la n-ésima raíz, [228] c. Las funciones trigonométricas inversas. Multivalencia, [232] d. Las fórmulas integrales correspondientes, [237] e. Derivada e integral de la función exponencial, [238] 3.3 Derivación de funciones compuestas [239] a. Definiciones, [239] b. La regla de la cadena, [239] c. El teorema generalizado del valor medio del cálculo diferencial, [243] 3.4 Algunas aplicaciones de la función exponencial [244] a. Definición de la función exponencial por medio de una ecuación diferencial, [244] b. Interés compuesto continuamente. Desintegración radiactiva, [245] c. Enfriamiento o calentamiento de un cuerpo por el medio ambiente, [246] d. Variación de la presión atmosférica con la altura sobre la superficie de la Tierra, [247] e. Progreso de una reacción química, [248] f. Apertura y cierre de un circuito eléctrico, [249] 3.5 Las funciones hiperbólicas [250] a. Definición analítica, [250] b. Teoremas de adición y fórmulas para derivar, [252] c. Las funciones hiperbólicas inversas, [253] d. Otras analogías, [255] 3.6 Máximos y mínimos [257] a. Convexidad y concavidad de curvas, [257] b. Máximos y mínimos—Extremos relativos. Puntos estacionarios, [259] *3.7 El orden de magnitud de las funciones [269] a. El concepto de orden de magnitud. Los casos más simples, [269] b. Los órdenes de magnitud de la función exponencial y del logaritmo, [270] c. Comentarios generales, [272] d. El orden de magnitud de una función en la vecindad de un punto arbitrario, [273] e. El orden de magnitud (pequenez) de una función que tiende a cero, [273] f. Las notaciones “O” y “o” para órdenes de magnitud, [274] APENDICE [276] A.1 Algunas funciones especiales [276] a. La función y = e-1/x2 ,277 b. La función y = e-1/x ,278 c. La función y = tanh 1 /x, [278] d. La función y = x tanh 1/x, [279] e. La función y = x sen 1/x, y (0) = 0, [280] A.2 Comentarios sobre la derivabilidad de funciones [280] PARTE B Técnicas de integración [282] 3.8 Tabla de integrales elementales [285] 3.9 El método de substitución [285] a. La fórmula de substitución. Integral de una función compuesta, [285] b. Una deducción alternativa de la fórmula de substitución, [289] c. Ejemplos. Fórmulas de integración, 291 [285] 3.10 Otros ejemplos del método de substitución [292] 3.11 Integración por partes a. Fórmula general, [295] b. Otros ejemplos de integración por partes, [297] c. Fórmula integral para f(b) + f(a), [298] d. Fórmulas recursivas, [298] e. El producto infinito de Wallis para п, 300 [295] 3.12 Integración de funciones racionales a. Los tipos fundamentales, [303] b. Integración de los tipos fundamentales, [304] c. Fracciones parciales, 306 [302] d. Ejemplos de resolución en fracciones parciales. El método de los coeficientes indeterminados, [308] 3.13 Integración de algunas otras clases de funciones 3l0 a. Comentarios preliminares sobre la representación racional de la circunferencia y de la hipérbola, [310] b. Integración de jR(cos x, sen x)> [312] c. Integración de R(cosh x, senh x), [313] *d. Integración de R(x> y/l-x2), [314] *e. Integración de R(x, \/xa-l), [314] *f. Integración de R(x, Vx8+1), [314] *g. Integración de R(x> \/axi-i-2bx+c), [315] *h. Otros ejemplos de reducción a integrales de funciones racionales, [315] i. Comentarios sobre los ejemplos, [316] PARTE C Otros pasos en la teoría del cálculo integral [317] 3.14 Integrales de funciones elementales [317] a. Definición de funciones por medio de integrales. Integrales y funciones elípticas, [317] b. Sobre la derivación y la integración, [320] 3.15 Extensión del concepto de integral [320] a. Introducción. Definición de integrales “impropias”, [320] b. Funciones con discontinuidades infinitas, [323] c. Interpretación de la integral como un área, [323] d. Criterios para determinar la convergencia, [324] e. Intervalo de integración infinito, [325] f. La función gamma, [327] g. La integral de Dirichlet, [328] h. Substitución. Integrales de Fresnel, [329] 3.16 Las ecuaciones diferenciales de las funciones trigonométricas [331] a. Comentarios introductorios sobre las ecuaciones diferenciales, [331] b. Sen x y eos x definidos mediante una ecuación diferencial y condiciones iniciales, [331] PROBLEMAS [333]
CAPITULO 4 Aplicaciones en Física y Geometría [343] 4.1 Teoría de curvas planas [343] a. Representación paramétrica, [343] b. Cambios de parámetros, [345] c. Movimiento a lo largo de una curva. El tiempo como un parámetro. El ejemplo de la cicloide, [347] d. Clasificación de curvas. Orientación, [351] e. Derivadas, tangentes y normales en representación paramétrica, [361] f. La longitud de una cuna. [366] g. La longitud de arco como parámetro. [370] h. Curvatura, [372] i. Cambio de ejes de coordenadas. Invariancia, [378] *j. Movimiento uniforme en la teoría especial de relatividad, [381] k. Integrales que expresan áreas dentro de curvas cerradas, [382] 1. Centro de masa y momento de una cun a, [390] m. Area y volumen de una superficie de revolución, [391] n. Momento de inercia, [392] 4.2 Ejemplos a. La cicloide común, [394] b. La catenaria, [395] c. La elipse y la lemniscata, 396 [393] 4.3 Vectores en dos dimensiones a. Definición de vectores mediante traslaciones. Notaciones. [398] b. Adición y multiplicación de vectores, [402] c. Vectores variables, sus derivadas e integrales, [410] d. Aplicación a curvas planas. Dirección “rapidez” y aceleración, 411 [397] 4.4 Movimiento de una partícula bajo la acción de fuerzas especificadas a. Ley de movimiento de Newton, [415] b. Movimiento de cuerpos en caída, [417] c. Movimiento de una partícula restringido a una curva dada, 418 [415] 45 Caída libre de un cuerpo venciendo la resistencia del aire [420] 4.6 El tipo más simple de vibración elástica [423] 4.7 Movimiento sobre una curva dada a. La ecuación diferencial y su solución, [424] b. Partícula que se desliza hacia abajo sobre una curva, [426] c. Discusión del movimiento, [428] d. El péndulo ordinario, [429] e. El péndulo cicloidal, 430 [424] •4.8 Movimiento en un campo gravitacional a. Ley universal de la gravitación de Newton, [431] b. Movimiento circular en torno al centro de atracción, [433] c. Movimiento radial-Velocidad de escape, 435 [431] 4.9 Trabajo y energía [436] a. Trabajo realizado por fuerzas durante un movimiento, [436] b. Trabajo y energía cinética. Conservación de la energía, [438] c. La atracción mutua de dos masas, [440] d. El estiramiento de un resorte, [441] *e. La carga de un condensador, [442] APENDICE [442] A.1 Propiedades de la evoluta [442] A.2 Areas limitadas por curvas cerradas. Indices [448] PROBLEMAS [453] CAPITULO 5 Desarrollo de Taylor [459] 5.1 Introducción: Series de potencias [459] 5.2 Desarrollo del logaritmo y de la tangente inversa [461] a. El logaritmo, [461] b. La tangente inversa, [463] 5.3 Teorema de Taylor [464] a. Representación de Taylor para polinomios, [464] b. Fórmula de Taylor para funciones no polinomiales, [465] 5.4 Expresiones y estimaciones para el residuo [466] a. Expresiones de Cauchy y de Lagrange, [466] b. Una derivación alternativa de la fórmula de Taylor, [469] 5.5 Desarrollos de funciones elementales [472] a. La función exponencial, [472] b. Desarrollos de sen x, cos x, senh x, cosh x, [473] c. La serie binomial, [475] 5.6 Aplicaciones geométricas [476] a. Contactos entre curvas, [477] b. Sobre la teoría de máximos y mínimos relativos, [480] APENDICE I [481] A.I.1 Ejemplo de una función que no se puede desarrollar en una serie de Taylor [481] A.I.2 Ceros e infinitos de funciones [482] a. Ceros de orden n, 482 b. Infinito de orden v, [482] A.I.3 Expresiones indeterminadas [483] *A.I.4 La convergencia de la serie de Taylor para una función con derivadas no negativas de todos los órdenes [486] APENDICE II INTERPOLACION [489] *A.II.l El problema de la interpolación. Unicidad [489] A.II.2 Construcción de la solución. Fórmula de interpolación de Newton [490] A.II.3 La estimación del residuo [493] A.II.4 La fórmula de interpolación de Lagrange [495] PROBLEMAS [496] CAPITULO 6 Métodos numéricos [501] 6.1 Cálculo de integrales [502] a. Aproximación mediante rectángulos, 502 b. Aproximaciones refinadas-Regla de Simpson, [503] 6.2 Otros ejemplos de métodos numéricos [509] a. El “cálculo de errores”, [509] *b. Cálculo de п, [512] *c. Cálculo de logaritmos, [512] 6.3 Solución numérica de ecuaciones [514] a. Método de Newton, [514] *b. La regla de la posición falsa, [517] c. El método iterativo, 518 d. Iteraciones y procedimiento de Newton, [521] APENDICE [523] *A.1 Fórmula de Stirling [523] PROBLEMAS [526] CAPITULO 7 Sumas y productos infinitos [529] 7.1 Los conceptos de convergencia y divergencia [530] a. Conceptos básicos, [530] b. Convergencia absoluta y convergencia condicional, [532] *c. Reordenamiento de términos, [536] d. Operaciones con series infinitas, [538] 7.2 Criterios de convergencia absoluta y de divergencia [539] a. El criterio de comparación. Mayorantes, [539] b. Investigación de la convergencia mediante la comparación con la serie geométrica, [540] c. Comparación con una integral, [543] 7.3 Sucesiones de funciones [545] a. Procesos de límite con funciones y curvas, [545] 7.4 Convergencia uniforme y convergencia no uniforme [547] a. Comentarios generales y definiciones, [547] b. Un criterio de convergencia uniforme, [552] c. Continuidad de la suma de una serie uniformemente convergente de funciones continuas, [554] d. Integración de series uniformemente convergentes, [555] e. Derivación de series infinitas, [557] 7.5 Series de potencias [558] a. Propiedades de convergencia de las series de potencias-intervalo de convergencia, [558] b. Integración y derivación de series de potencias, [560] c. Operaciones con series de potencias, [561] d. Unicidad del desarrollo, [562] *e. Funciones analíticas, [563] 7.6 Desarrollos en series de potencias de funciones dadas. El método de los coeficientes indeterminados. Ejemplos a. La función exponencial, [564] b. La serie del binomio, [565] c. La serie para are sen x, [566] d. La serie para ar senh x = log [x + √ (1 + x2)], [567] e. Ejemplo de multiplicación de series, [567] f. Ejemplo de integración término a término (integral elíptica), [567] 7.7 Series de potencias con términos complejos [568] a. Introducción de términos complejos en una serie de potencias. Representaciones complejas de funciones trigonométricas, [568] *b. Un vistazo a la teoría general de funciones de una variable compleja, [571] APENDICE [572] A.l Multiplicación y división de series [572] a. Multiplicación de series absolutamente convergentes, [572] *b. Multiplicación y división de series de potencias, [573] A.2 Series infinitas e integrales impropias [574] *A.3 Productos infinitos [576] *A.4 Series en que aparecen números de Bernoulli [579] PROBLEMAS [581] CAPITULO 8 Series trigonométricas [589] 8.1 Funciones periódicas [590] a. Comentarios generales. Extensión periódica de una función, [590] b. Integrales calculadas sobre un período, [591] c. Vibraciones armónicas, [592] 8.2 Superposición de vibraciones armónicas [594] a. Armónicas. Polinomios trigonométricos, [594] b. Batidos, [595] 8.3 Notación compleja [600] a. Comentarios generales, [600] *b. Aplicación al caso de corrientes alternas, [601] c. Notación compleja para polinomios trigonométricos, [602] d. Una fórmula trigonométrica, [603] [8.4] c. Series de Fourier [604] a. Coeficientes de Fourier, [604] b. Lema básico, j Demostración de que ∫0 ∞ sen z/z dz = п/2, [606] d. Desarrollo de Fourier para la función ø(x) = x, [609] e. El teorema principal sobre desarrollos de Fourier, [611] 8.5 Ejemplos de series de Fourier [615] a. Comentarios preliminares, [615] b. Desarrollo de la función ø(x) = x2, [616] c. Desarrollo de x cos x, [616] d. La función f(x) = |x|, [617] e. Una función constante por trozos, [618] f. La función |sen x|, [619] g. Desarrollo de cos ux. Descomposición de la cotangente en fracciones parciales. El producto infinito para el seno, [619] h. Ejemplos adicionales, [621] 8.6 Discusión adicional sobre la convergencia a. Resultados, [621] b. Desigualdad de Bessel, [622] *c. Demostración de los corolarios (a), (b) y (c), [622] d. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier. Derivación de series de Fourier, [624] *8.7 Aproximación mediante polinomios trigonométricos y racionales [625] a. Comentario general sobre las representaciones de funciones, [625] b. Teorema de aproximación de Weierstrass, [626] *c. Aproximación trigonométrica de Fejer para los polinomios de Fourier, usando medias aritméticas, [627] *d. Aproximación en media y relación de Parseval, [629] APENDICE I [632] *A-L1 Alargamiento del intervalo del período. Teorema de la integral de Fourier [632] ♦A.L2 Fenómeno de Gibbs en puntos de discontinuidad [633] ♦A.L3 Integración de series de Fourier [635] APENDICE II [636] *A.II.l Polinomios de Bemoulli y sus aplicaciones [636] a. Definición y desarrollo de Fourier, [636] *b. La función generadora. La serie de Taylor para la cotangente trigonométrica e hiperbólica, [639] c. La fórmula de la suma de Euler-Maclaurin, [642] d. Aplicaciones. Desarrollos asintóticos, [644] e. Sumas de potencias. Fórmula de recurrencia para los números de Bemoulli, [645] f. Constante de Euler y serie de Stirling, [646] PROBLEMAS [649] CAPITULO 9 Ecuaciones diferenciales para los tipos más simples de vibraciones [651] 9.1 Problemas de vibración en Mecánica y en Física [652] a. Las vibraciones mecánicas más simples, 652 b. Oscilaciones eléctricas, [653] 9.2 Solución de la ecuación homogénea. Oscilaciones libres [654] a. La solución formal, [654] b. Interpretación de la solución, [656] c. Satisfacción de condiciones iniciales dadas. Unicidad de la solución, [657] 9.3 La ecuación no homogénea. Oscilaciones forzadas [658] a. Comentarios generales. Superposición, [658] b. Solución de la ecuación no homogénea, [660] c. La curva de resonancia, [661] d. Una discusión adicional sobre las oscilaciones, [664] e. Comentarios sobre la construcción de instrumentos de registro, [665] LISTA DE FECHAS BIOGRAFICAS [667] INDICE [669]
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Instituto de Matemática, CONICET-UNS | Libros ordenados por tema | 26 C858ie (Browse shelf) | Vol. 1 | Available | A-4879 |
Traducción de: Introduction to calculus and analysis, c1965.
Contenido --
CAPITULO 1 Introducción --
1.1 El continuo de números --
a. El sistema de números naturales y su extensión. Numeración y medición, [26] --
b. Números reales e intervalos encajados, [31] --
c. Fracciones decimales. Bases distintas a la de diez, [33] --
d. Definición de vecindad o entorno, [36] --
e. Desigualdades, [36] --
1.2 El concepto de función [41] --
a. Función-Gráfica, [42] --
b. Definición del Concepto de funciones de una variable continua. Dominio y rango de una función, [45] --
c. Representación gráfica. Funciones monótonas, [48] --
d. Continuidad, 55 e. El teorema del valor intermedio. Funciones inversas, [68] --
1.3 Las funciones elementales [71] --
a. Funciones racionales, [71] --
b. Funciones algebraicas, [72] --
c. Funciones trigonométricas, [73] --
d. La función exponencial y el logaritmo, [74] --
e. Funciones compuestas, productos simbólicos, funciones inversas, [76] --
1.4 Sucesiones [79] --
1.5 Inducción matemática [80] --
1.6 El límite de una sucesión [84] --
a. an =1/n' 84 b. a2m=1/2m, [85] --
c. an = n/n+1, 86 d. an=n√p, [87] --
e. an = an, [88] --
f. Ilustración geométrica de los límites an y n√p, [89] --
g. La serie geométrica, 90 h. an = n√n, [92] --
i. an = √n+1 — √n, [92] --
j. an = ann, para α > 1, [93] --
1.7 Discusión del concepto de límite [93] --
a. Definición de convergencia y divergencia, [93] --
b. Operaciones racionales con límites, [95] --
c. Pruebas intrínsecas de convergencia. Sucesiones monótonas, [96] --
d. Series infinitas y el símbolo de sumatoria, [98] --
e. El número e, [100] --
f. El número п como límite, [103] --
1.8 El concepto de límite para funciones de una variable continua [105] --
a. Algunas observaciones sobre las funciones elementales, [109] --
SUPLEMENTO [110] --
5.1. Los límites y el concepto de número [112] --
a. Los números racionales, [112] --
b. Números reales determinados por encaje de intervalos racionales, [113] --
c. Orden, límites y operaciones aritméticas para números reales, [115] --
d. Plenitud de continuo de números. Compacidad de intervalos cerrados. Criterios de convergencia, [117] --
e. Cotas. Extremo superior y extremo inferior, [120] --
f. Nu-merabilidad de los números racionales, [121] --
5.2. Teoremas sobre funciones continuas [123] --
5.3 Coordenadas polares [125] --
5.4 Observaciones sobre los números complejos [126] --
PROBLEMAS, [129] --
CAPITULO 2 Las ideas fundamentales del cálculo integral y diferencial [141] --
2.1 La integral [142] --
a. Introducción, [142] --
b. La integral como un área, [143] --
c. Definición analítica de la integral. Notaciones, [145] --
2.2 Ejemplos elementales de integración [150] --
a. Integración de una función lineal, [150] --
b. Integración de x2, [152] --
c. Integración de xα para enteros α≠-1, [153] --
d. Integración de xa para a racional distinto de -1, [156] --
e. Integración de sen x y cos x, 157 [150] --
2.3 Reglas fundamentales de integración [158] --
a. Aditividad, [158] --
b. Integral de una suma y de un producto con una constante, [159] --
c. Estimación de integrales, [160] --
d. El teorema del valor medio para integrales, [161] --
2.4 La integral como función del límite superior (integral indefinida) [165] --
2.5 El logaritmo definido mediante una integral [167] --
a. Definición de la función logaritmo, [167] --
b. El teorema de adición para logaritmos, [169] --
2.6 Función exponencial y potencias [171] --
a. El logaritmo del número e, [171] --
b. La función inversa del logaritmo. La función exponencial, [172] --
c. La función exponencial como límite de potencias, [173] --
d. Definición de potencias arbitrarias de números positivos, [174.] --
e. Logaritmos de base arbitraria, [175] --
2.7 La integral de una potencia arbitraria de x, [176] --
2.8 La derivada [177] --
a. La derivada y la tangente, [178] --
b. La derivada como una velocidad, [183] --
c. Ejemplos de diferenciación, [184] --
d. Algunas reglas fundamentales para la derivación, [187] --
e. Derivabilidad y continuidad de funciones, [187] --
f. Derivadas superiores y su significado, 190, --
g. Derivada y cociente de incrementos. Notacióh de Leibnitz, [192.] --
h. El teorema del valor medio del cálculo diferencial, [194] --
i. Demostración del teorema, [196] --
j. La aproximación de funciones mediante funciones lineales. Definición de diferenciales, [200] --
k. Observaciones sobre aplicaciones a las ciencias naturales, 205 [177] --
2.9 La integral, la función primitiva y los teoremas fundamentales del cálculo [206] --
a. La derivada de la integral, [206] --
b. La función primitiva y su relación con la integral, [208] --
c. El uso de la función primitiva para la evaluación de integrales definidas, [211] --
d. Ejemplos, [212] --
Suplemento. La existencia de la integral definida de una función continua [213] --
PROBLEMAS [217] --
CAPITULO 3 Las técnicas del cálculo [223] --
PARTE A Derivación e integración de las funciones elementales [223] --
3.1 Las reglas más simples para derivar y sus aplicaciones [223] --
a. Reglas de la derivación, [223] --
b. Derivación de las funciones racionales, [226.] --
c. Derivación de las funciones trigonométricas, [227] --
3.2 La derivada de la función inversa [228] --
a. Fórmula general, [228] --
b. La inversa de la n-ésima potencia; la n-ésima raíz, [228] --
c. Las funciones trigonométricas inversas. Multivalencia, [232] --
d. Las fórmulas integrales correspondientes, [237] --
e. Derivada e integral de la función exponencial, [238] --
3.3 Derivación de funciones compuestas [239] --
a. Definiciones, [239] --
b. La regla de la cadena, [239] --
c. El teorema generalizado del valor medio del cálculo diferencial, [243] --
3.4 Algunas aplicaciones de la función exponencial [244] --
a. Definición de la función exponencial por medio de una ecuación diferencial, [244] --
b. Interés compuesto continuamente. Desintegración radiactiva, [245] --
c. Enfriamiento o calentamiento de un cuerpo por el medio ambiente, [246] --
d. Variación de la presión atmosférica con la altura sobre la superficie de la Tierra, [247] --
e. Progreso de una reacción química, [248] --
f. Apertura y cierre de un circuito eléctrico, [249] --
3.5 Las funciones hiperbólicas [250] --
a. Definición analítica, [250] --
b. Teoremas de adición y fórmulas para derivar, [252] --
c. Las funciones hiperbólicas inversas, [253] --
d. Otras analogías, [255] --
3.6 Máximos y mínimos [257] --
a. Convexidad y concavidad de curvas, [257] --
b. Máximos y mínimos—Extremos relativos. Puntos estacionarios, [259] --
*3.7 El orden de magnitud de las funciones [269] --
a. El concepto de orden de magnitud. Los casos más simples, [269] --
b. Los órdenes de magnitud de la función exponencial y del logaritmo, [270] --
c. Comentarios generales, [272] --
d. El orden de magnitud de una función en la vecindad de un punto arbitrario, [273] --
e. El orden de magnitud (pequenez) de una función que tiende a cero, [273] --
f. Las notaciones “O” y “o” para órdenes de magnitud, [274] --
APENDICE [276] --
A.1 Algunas funciones especiales [276] --
a. La función y = e-1/x2 ,277 --
b. La función y = e-1/x ,278 --
c. La función y = tanh 1 /x, [278] --
d. La función y = x tanh 1/x, [279] --
e. La función y = x sen 1/x, y (0) = 0, [280] --
A.2 Comentarios sobre la derivabilidad de funciones [280] --
PARTE B Técnicas de integración [282] --
3.8 Tabla de integrales elementales [285] --
3.9 El método de substitución [285] --
a. La fórmula de substitución. Integral de una función compuesta, [285] --
b. Una deducción alternativa de la fórmula de substitución, [289] --
c. Ejemplos. Fórmulas de integración, 291 [285] --
3.10 Otros ejemplos del método de substitución [292] --
3.11 Integración por partes a. Fórmula general, [295] --
b. Otros ejemplos de integración por partes, [297] --
c. Fórmula integral para f(b) + f(a), [298] --
d. Fórmulas recursivas, [298] --
e. El producto infinito de Wallis para п, 300 [295] --
3.12 Integración de funciones racionales --
a. Los tipos fundamentales, [303] --
b. Integración de los tipos fundamentales, [304] --
c. Fracciones parciales, 306 [302] --
d. Ejemplos de resolución en fracciones parciales. El método de los coeficientes indeterminados, [308] --
3.13 Integración de algunas otras clases de funciones 3l0 --
a. Comentarios preliminares sobre la representación racional de la circunferencia y de la hipérbola, [310] --
b. Integración de jR(cos x, sen x)> [312] --
c. Integración de R(cosh x, senh x), [313] --
*d. Integración de R(x> y/l-x2), [314] --
*e. Integración de R(x, \/xa-l), [314] --
*f. Integración de R(x, Vx8+1), [314] --
*g. Integración de R(x> \/axi-i-2bx+c), [315] --
*h. Otros ejemplos de reducción a integrales de funciones racionales, [315] --
i. Comentarios sobre los ejemplos, [316] --
PARTE C Otros pasos en la teoría del cálculo integral [317] --
3.14 Integrales de funciones elementales [317] --
a. Definición de funciones por medio de integrales. Integrales y funciones elípticas, [317] --
b. Sobre la derivación y la integración, [320] --
3.15 Extensión del concepto de integral [320] --
a. Introducción. Definición de integrales “impropias”, [320] --
b. Funciones con discontinuidades infinitas, [323] --
c. Interpretación de la integral como un área, [323] --
d. Criterios para determinar la convergencia, [324] --
e. Intervalo de integración infinito, [325] --
f. La función gamma, [327] --
g. La integral de Dirichlet, [328] --
h. Substitución. Integrales de Fresnel, [329] --
3.16 Las ecuaciones diferenciales de las funciones trigonométricas [331] --
a. Comentarios introductorios sobre las ecuaciones diferenciales, [331] --
b. Sen x y eos x definidos mediante una ecuación diferencial y condiciones iniciales, [331] --
PROBLEMAS [333] --
CAPITULO 4 Aplicaciones en Física y Geometría [343] --
4.1 Teoría de curvas planas [343] --
a. Representación paramétrica, [343] --
b. Cambios de parámetros, [345] --
c. Movimiento a lo largo de una curva. El tiempo como un parámetro. El ejemplo de la cicloide, [347] --
d. Clasificación de curvas. Orientación, [351] --
e. Derivadas, tangentes y normales en representación paramétrica, [361] --
f. La longitud de una cuna. [366] --
g. La longitud de arco como parámetro. [370] --
h. Curvatura, [372] --
i. Cambio de ejes de coordenadas. Invariancia, [378] --
*j. Movimiento uniforme en la teoría especial de relatividad, [381] --
k. Integrales que expresan áreas dentro de curvas cerradas, [382] --
1. Centro de masa y momento de una cun a, [390] --
m. Area y volumen de una superficie de revolución, [391] --
n. Momento de inercia, [392] --
4.2 Ejemplos --
a. La cicloide común, [394] --
b. La catenaria, [395] --
c. La elipse y la lemniscata, 396 [393] --
4.3 Vectores en dos dimensiones --
a. Definición de vectores mediante traslaciones. Notaciones. [398] --
b. Adición y multiplicación de vectores, [402] --
c. Vectores variables, sus derivadas e integrales, [410] --
d. Aplicación a curvas planas. Dirección “rapidez” y aceleración, 411 [397] --
4.4 Movimiento de una partícula bajo la acción de fuerzas especificadas --
a. Ley de movimiento de Newton, [415] --
b. Movimiento de cuerpos en caída, [417] --
c. Movimiento de una partícula restringido a una curva dada, 418 [415] --
45 Caída libre de un cuerpo venciendo la resistencia del aire [420] --
4.6 El tipo más simple de vibración elástica [423] --
4.7 Movimiento sobre una curva dada --
a. La ecuación diferencial y su solución, [424] --
b. Partícula que se desliza hacia abajo sobre una curva, [426] --
c. Discusión del movimiento, [428] --
d. El péndulo ordinario, [429] --
e. El péndulo cicloidal, 430 [424] --
•4.8 Movimiento en un campo gravitacional --
a. Ley universal de la gravitación de Newton, [431] --
b. Movimiento circular en torno al centro de atracción, [433] --
c. Movimiento radial-Velocidad de escape, 435 [431] --
4.9 Trabajo y energía [436] --
a. Trabajo realizado por fuerzas durante un movimiento, [436] --
b. Trabajo y energía cinética. Conservación de la energía, [438] --
c. La atracción mutua de dos masas, [440] --
d. El estiramiento de un resorte, [441] --
*e. La carga de un condensador, [442] --
APENDICE [442] --
A.1 Propiedades de la evoluta [442] --
A.2 Areas limitadas por curvas cerradas. Indices [448] --
PROBLEMAS [453] --
CAPITULO 5 Desarrollo de Taylor [459] --
5.1 Introducción: Series de potencias [459] --
5.2 Desarrollo del logaritmo y de la tangente inversa [461] --
a. El logaritmo, [461] --
b. La tangente inversa, [463] --
5.3 Teorema de Taylor [464] --
a. Representación de Taylor para polinomios, [464] --
b. Fórmula de Taylor para funciones no polinomiales, [465] --
5.4 Expresiones y estimaciones para el residuo [466] --
a. Expresiones de Cauchy y de Lagrange, [466] --
b. Una derivación alternativa de la fórmula de Taylor, [469] --
5.5 Desarrollos de funciones elementales [472] --
a. La función exponencial, [472] --
b. Desarrollos de sen x, cos x, senh x, cosh x, [473] --
c. La serie binomial, [475] --
5.6 Aplicaciones geométricas [476] --
a. Contactos entre curvas, [477] --
b. Sobre la teoría de máximos y mínimos relativos, [480] --
APENDICE I [481] --
A.I.1 Ejemplo de una función que no se puede desarrollar en una serie de Taylor [481] --
A.I.2 Ceros e infinitos de funciones [482] --
a. Ceros de orden n, 482 b. Infinito de orden v, [482] --
A.I.3 Expresiones indeterminadas [483] --
*A.I.4 La convergencia de la serie de Taylor para una función con derivadas no negativas de todos los órdenes [486] --
APENDICE II INTERPOLACION [489] --
*A.II.l El problema de la interpolación. Unicidad [489] --
A.II.2 Construcción de la solución. Fórmula de interpolación de Newton [490] --
A.II.3 La estimación del residuo [493] --
A.II.4 La fórmula de interpolación de Lagrange [495] --
PROBLEMAS [496] --
CAPITULO 6 Métodos numéricos [501] --
6.1 Cálculo de integrales [502] --
a. Aproximación mediante rectángulos, 502 b. Aproximaciones refinadas-Regla de Simpson, [503] --
6.2 Otros ejemplos de métodos numéricos [509] --
a. El “cálculo de errores”, [509] --
*b. Cálculo de п, [512] --
*c. Cálculo de logaritmos, [512] --
6.3 Solución numérica de ecuaciones [514] --
a. Método de Newton, [514] --
*b. La regla de la posición falsa, [517] --
c. El método iterativo, 518 d. Iteraciones y procedimiento de Newton, [521] --
APENDICE [523] --
*A.1 Fórmula de Stirling [523] --
PROBLEMAS [526] --
CAPITULO 7 Sumas y productos infinitos [529] --
7.1 Los conceptos de convergencia y divergencia [530] --
a. Conceptos básicos, [530] --
b. Convergencia absoluta y convergencia condicional, [532] --
*c. Reordenamiento de términos, [536] --
d. Operaciones con series infinitas, [538] --
7.2 Criterios de convergencia absoluta y de divergencia [539] --
a. El criterio de comparación. Mayorantes, [539] --
b. Investigación de la convergencia mediante la comparación con la serie geométrica, [540] --
c. Comparación con una integral, [543] --
7.3 Sucesiones de funciones [545] --
a. Procesos de límite con funciones y curvas, [545] --
7.4 Convergencia uniforme y convergencia no uniforme [547] --
a. Comentarios generales y definiciones, [547] --
b. Un criterio de convergencia uniforme, [552] --
c. Continuidad de la suma de una serie uniformemente convergente de funciones continuas, [554] --
d. Integración de series uniformemente convergentes, [555] --
e. Derivación de series infinitas, [557] --
7.5 Series de potencias [558] --
a. Propiedades de convergencia de las series de potencias-intervalo de convergencia, [558] --
b. Integración y derivación de series de potencias, [560] --
c. Operaciones con series de potencias, [561] --
d. Unicidad del desarrollo, [562] --
*e. Funciones analíticas, [563] --
7.6 Desarrollos en series de potencias de funciones dadas. El método de los coeficientes indeterminados. Ejemplos --
a. La función exponencial, [564] --
b. La serie del binomio, [565] --
c. La serie para are sen x, [566] --
d. La serie para ar senh x = log [x + √ (1 + x2)], [567] --
e. Ejemplo de multiplicación de series, [567] --
f. Ejemplo de integración término a término (integral elíptica), [567] --
7.7 Series de potencias con términos complejos [568] --
a. Introducción de términos complejos en una serie de potencias. Representaciones complejas de funciones trigonométricas, [568] --
*b. Un vistazo a la teoría general de funciones de una variable compleja, [571] --
APENDICE [572] --
A.l Multiplicación y división de series [572] --
a. Multiplicación de series absolutamente convergentes, [572] --
*b. Multiplicación y división de series de potencias, [573] --
A.2 Series infinitas e integrales impropias [574] --
*A.3 Productos infinitos [576] --
*A.4 Series en que aparecen números de Bernoulli [579] --
PROBLEMAS [581] --
CAPITULO 8 Series trigonométricas [589] --
8.1 Funciones periódicas [590] --
a. Comentarios generales. Extensión periódica de una función, [590] --
b. Integrales calculadas sobre un período, [591] --
c. Vibraciones armónicas, [592] --
8.2 Superposición de vibraciones armónicas [594] --
a. Armónicas. Polinomios trigonométricos, [594] --
b. Batidos, [595] --
8.3 Notación compleja [600] --
a. Comentarios generales, [600] --
*b. Aplicación al caso de corrientes alternas, [601] --
c. Notación compleja para polinomios trigonométricos, [602] --
d. Una fórmula trigonométrica, [603] --
[8.4] --
c. Series de Fourier [604] --
a. Coeficientes de Fourier, [604] --
b. Lema básico, j --
Demostración de que ∫0 ∞ sen z/z dz = п/2, [606] --
d. Desarrollo de Fourier para la función ø(x) = x, [609] --
e. El teorema principal sobre desarrollos de Fourier, [611] --
8.5 Ejemplos de series de Fourier [615] --
a. Comentarios preliminares, [615] --
b. Desarrollo de la función ø(x) = x2, [616] --
c. Desarrollo de x cos x, [616] --
d. La función f(x) = |x|, [617] --
e. Una función constante por trozos, [618] --
f. La función |sen x|, [619] --
g. Desarrollo de cos ux. Descomposición de la cotangente en fracciones parciales. El producto infinito para el seno, [619] --
h. Ejemplos adicionales, [621] --
8.6 Discusión adicional sobre la convergencia --
a. Resultados, [621] --
b. Desigualdad de Bessel, [622] --
*c. Demostración de los corolarios (a), (b) y (c), [622] --
d. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier. Derivación de series de Fourier, [624] --
*8.7 Aproximación mediante polinomios trigonométricos y racionales [625] --
a. Comentario general sobre las representaciones de funciones, [625] --
b. Teorema de aproximación de Weierstrass, [626] --
*c. Aproximación trigonométrica de Fejer para los polinomios de Fourier, usando medias aritméticas, [627] --
*d. Aproximación en media y relación de Parseval, [629] --
APENDICE I [632] --
*A-L1 Alargamiento del intervalo del período. Teorema de la integral de Fourier [632] --
♦A.L2 Fenómeno de Gibbs en puntos de discontinuidad [633] --
♦A.L3 Integración de series de Fourier [635] --
APENDICE II [636] --
*A.II.l Polinomios de Bemoulli y sus aplicaciones [636] --
a. Definición y desarrollo de Fourier, [636] --
*b. La función generadora. La serie de Taylor para la cotangente trigonométrica e hiperbólica, [639] --
c. La fórmula de la suma de Euler-Maclaurin, [642] --
d. Aplicaciones. Desarrollos asintóticos, [644] --
e. Sumas de potencias. Fórmula de recurrencia para los números de Bemoulli, [645] --
f. Constante de Euler y serie de Stirling, [646] --
PROBLEMAS [649] --
CAPITULO 9 Ecuaciones diferenciales para los tipos más simples de vibraciones [651] --
9.1 Problemas de vibración en Mecánica y en Física [652] --
a. Las vibraciones mecánicas más simples, 652 b. Oscilaciones eléctricas, [653] --
9.2 Solución de la ecuación homogénea. Oscilaciones libres [654] --
a. La solución formal, [654] --
b. Interpretación de la solución, [656] --
c. Satisfacción de condiciones iniciales dadas. Unicidad de la solución, [657] --
9.3 La ecuación no homogénea. Oscilaciones forzadas [658] --
a. Comentarios generales. Superposición, [658] --
b. Solución de la ecuación no homogénea, [660] --
c. La curva de resonancia, [661] --
d. Una discusión adicional sobre las oscilaciones, [664] --
e. Comentarios sobre la construcción de instrumentos de registro, [665] --
LISTA DE FECHAS BIOGRAFICAS [667] --
INDICE [669] --
MR, REVIEW #
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