Lecciones de algebra / Julio Rey Pastor
Editor: Madrid : [s.n.], 1947Edición: 3ª edDescripción: XI, 280 p. ; 25 cmOtra clasificación: *CODIGO*ÍNDICE GENERAL CAPITULO PRIMERO PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ECUACION § 1. Función general de variable compleja pág. [1] 1. Definiciones.—2. Límites.—3, 4. Continuidad.—5, 6, 7. Argumento de una variable compleja.—Ejercicios. § 2. Función entera de coeficientes complejos pág. [6] 8. Definiciones.—9. Propiedades de los polinomios.—10. Continuidad de la función entera.—11, 12. Variación del módulo de la función entera.—Notas.—1. Derivadas de la función entera.—2. Acotación de los ceros. § 3. Raíces de las ecuaciones algebraicas pág. [13] 13 a 16. Teorema fundamental del Algebra.—17, 18. Raíces múltiples.— 19 a 21. Continuidad de las raíces.—Notas.—1. Determinación de las raíces múltiples.—2. Teorema de Ostragradski.—Ejercicios. § 4. Función entera de coeficientes reales pág. [21] 22. Sigilo de los polinomios reales.—23, 24. Raíces reales de los polinomios reales.—28 a 32. Raíces múltiples.—Ejercicios. § 5. Función racional de coeficientes reales pág. [26] 33. Infinitos de la función racional.—34. Exceso algebraico de una función racional.—35, 36. Propiedades de] exceso algebraico.—37, 38. Cálculo del exceso algebraico.—39. Número de vueltas de una curva cerrada. CAPITULO II RESOLUCION DE LAS ECUACIONES NUMERICAS § 6. Acotación de las raíces reales [34] 40. Clasificación de las cotas.—41. Regla de acotación de Laguerre-Thi-bault.—42, 43. Regla de acotación de Newton.—Notas—Reglas de acotación.—Ejercicios , § 7. Investigación de las raíces racionales [41] 44, Cálculo de las raíces enteras.—45. Regla práctica.—46, 47. Raíces fraccionarias.—Notas.—Cálculo directo de las raíces fraccionarías.—Ejercicios. § 8. Separación de las raíces irracionales pág. [46] 4S Problema fundamental.—49, 50. Paridad del número de raicea.—51, 52. Teorema de Rolle.—53. Teorema de Sturm.—54. Teorema de Budan-Fourier.—55. Teorema de Descartes.—Notas.—1. Sucesiones de Sturm.'— 2. Teoremas de Fourier y Descartes.—8. Teorema de Laguerre. § 9. Cálenlo de las raíces irracionales pág. [57] 56. Sustituciones sucesivas.—57. Regla de Horner.—58. Método de Hornee.— 59. Regla de Newton.—Notas.—Método de Lagrange.—Aplicación de la regla de Horner al teorema de Budan-Fourier. § 10. Resolución de ecuaciones transcendentes pág. [64] 60. Regla de Newton.—61, 62. Regla de Newton-Fourier.—63. Regula falsj o por partes proporcionales.—64. Método mixto.—65. Método de iteración.— 66. Ecuaciones dadas por series.—Ejercicios. § 11. Teoría de las raíces complejas pág. [76] 67, 68. Variación del argumento sobre una curva.—69. Incrementos del argumento.—70 a 72. Variaciones de Arg s en una curva cerrada.—73, 74. Variaciones de Arg w.—75. Teorema de existencia de raíces.—76, 77. Teorema de D’Alembert.—78, 79. Número de ceros contenidos en un recinto. § 12. Cálculo de las raíces imaginarias pág. [87] SO. Caso en que sólo existe un par de raices imaginarias conjugadas.—8'1. Método general de cálculo de raices complejas.—82 a 84. Separación de raíces por paralelas al eje y.—85. Separación por paralelas al eje x.—86. Método del sistema de dos ecuaciones.—Ejercicios.—Notas.—Problema de Kelvin.—Teoremas de Cohn. § 15. Introducción al método de Gráffe pág. [101] 87. Fundamento del método.—88, 89. Formación de las ecuaciones transformadas.—90, 91. Ecuaciones de raíces desiguales en valor 'absoluto.— Notas.—Relación entre el error de una variable real y el de una función real.—Ejercicios . § 14. Estudió general del método Gráffe pág. [108] 92. Relación entre los métodos de la función y la variable.—93 a 95. Teorema fundamental del método de Gráffe.—96 a 99. Práctica del método. Notas al capítulo II.—Método de Lili. CAPITULO III INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION § 15. Interpolación entre valores cualesquiera pág. [120] 100. Teorema de existencia.—101, 102. Fórmula de Lagrange.—103. Método de aproximaciones. Interpolación lineal.—104. Interpolación cuadrática.—Ejercicios. § 16. Interpolación entre valores equidistantes pág. [125] 105. Diferencias sucesivas de una función.—106. Diferencias sucesivas y extrapolación de la función entera.—107. Diferencias sucesivas de las factoriales.—108. Fórmula de interpolación de Newton.—100. Fórmulas de Bessel y de Stirling.—110. Transformación de la fórmula de Newton. 8 17. Interpolación para funciones cualesquiera pág. [131] 111. Expresión general de los coeficientes en la fórmula de interpolación parabólica.—112. Polinomios interpolares.—113. Término complementario de la interpolación. Notas al capítulo III.—I. Bibliografía.—II. La fórmula de Newton.—III. Progresiones aritméticas de orden superior. CAPITULO IV LA. ELIMINACION § 18. El discriminante y las sumas simples pág. [137] 114. Funciones simétricas.—115, 116. Sumas simples.—Regla de Girard.— 117. Fórmulas de Newton.—118, 119. Discriminante.—Ejercicio. § 19. Métodos de eliminación del m. c. d. y dé Euler pág. [143] 121. Definiciones.—122, 123. Método del m. c. d.—124, 125. Método de Euler.—126. Generalización.—127. Formación.—Ejercicios. § 20. Método de eliminación de Bézout pág. [150] 128 a 130. Método de Bézout.—131, 132. Investigación de las raíces comunes .—Ejercicio . § 21. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pág. [156] 133 a 135. Simplificación del problema.—136. Formación de la eliminante.— 137. Grado de la eliminante.—137 (bis). Teorema restringido de Bézout.— 138, 139. Teorema general de Bézout.—Método de Kronecker. CAPITULO V TEORIA ELEMENTAL DE LA RESOLUCION ALGEBRAICA § 22. Funciones simétricas pág. [169] 140. Sumas simples y múltiples.—141 a 143. Cálculo de las funciones simétricas enteras:—144, 145, Funciones simétricas fraccionarias. . § 23. Resolución algebraica dé las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado pág. [173] 146. Ecuación cuadrática.—147. Ecuación cúbica.—148. Ecuación cuártica.— 149, 150. La' resolución algebraica de ecuaciones.—Notas.—Método de Ferrari.—Ejercicio . § 24. Ecuaciones que se reducen a otras de gradó inferior pág. [180] 151. Ecuaciones reducibles e irreducibles.—152, 153. Criterio de Eisenstein. 154. Teorema de Gauss.—155. Irreducibilidad de la ecuación ciclotómica.— 156, 157. Ecuaciones de raíces opuestas.—158, 159. Ecuaciones de raíces recíprocas.—160. Ecuaciones binómicas.—Ejercicios. § 25. Problemas geométricos de tercer grado pág. [187] 161, 162. Planteo analítico.—163, 164. Simplificación de los irracionales cua-draticos.—165, 100. Racionalización de denominadores.—107. Teorema fundamental.—108. Duplicación del cubo.—169. Trisección del ángulo.—Notas. CAPITULO VI APLICACION DE LOS GRUPOS DE SUSTITUCIONES A LA RESOLUCION ALGEBRAICA DE LAS ECUACIONES § 26. Grupos de sustituciones pág. [196] 170. Definiciones.—171. Grupos y subgrupos notables.—172, 173. Teorema de Lagrange.—174. Propiedades del grupo alternado.—Ejercicios. § 27. Funciones racionales no simétricas pág. [202] 170. Grupo de una función racional.—176 a 179. Valores de una función racional. § 28. El método de Lagrange y la resolución algebraica de ecuaciones pág. [205] 180. Resolvente de Lagrange.—181. Aplicación a las ecuaciones de 2.°, 3.° y 4.° grados.—182. El método general de Lagrange.—183. Teoremas de Lagrange.—184. Las funciones de dos valores. § 29. Campos de racionalidad e irracionales algebraicos pág. [212] 185. Campos de racionalidad.—186. Reducibilidad e irreducibilidad.— 187. Propiedad fundamental de las ecuaciones irreducibles.—188. Irreducibilidad de la ecuación binómica de grado primo.—189. Irracionales algebraicos.—190, 191. Racionalización de ecuaciones.—192. Resolvente y teorema de Lagrange en un cuerpo' cualquiera.—193. Irracionales naturales.—194. Campo ampliado por la adjunción de un irracional algebraico.—195. Las ecuaciones normales reducibles.—Ejercicios. § 30 Grupos de Galois y Teorema de Ruffini pág. [221] 196. Definición del grupo de Galois.—197. Formación del grupo de Galois. 198. Ejemplos de grupos de Galois.—199. Condición necesaria de resolubilidad algebraica.—200. Grupo numérico de una función racional.—201. Funciones que tienen grupo numérico prefijado.—202. Reducción del grupo de Galois por adjunción de un irracional natural.—203. Reducción del grupo de Galois por adjunción de un radical natural.—204. Teorema de Ruffini;—Ejercicios. § 31. Resolvente total de Galois y Teorema de Abel pág. [235] 205. Resolvente total de Galois.—206. Irracionales naturales pertenecientes al campo.—207. Diversos valores de una función racional.—208. Adjunción de irracionales no naturales.—209. Irracionales conjugados y transformación de Tschirnháusen.—210. Inversión de la transformación de Tschirnhausen.—211. Teorema de Abel.—212. Ecuaciones sin afecto.— Ejercicios. CAPITULO VII RESOLUCION ALGEBRAICA EN GENERAL §32. Ecuaciones resolubles por radicales pág. [245] 213. Relaciones entre el campo, el grupo y la resolvente total.—214. Resolventes normales sucesivas.—215. Indice del subgrupo obtenido por adjunción de una ecuación.—216. Grupo de la resolvente normal e irreducible.— 217. Ecuaciones cíclicas.—218. Resolución de las ecuaciones cíclicas.—219. Ecuaciones metacíclicas.—220. Ecuaciones abelianas.—Ejercicios. § 33. La resolubilidad parcial por radicales pág. [256] 221. Grupos transitivos e intransitivos.—222. Orden del grupo transitivo.— 223. Grupo regular.—224. Imposibilidad de la resolubilidad parcial por medio de radicales.—Ejercicios. § 34. Ecuaciones resolubles por radicales cuadráticos pág. [260] 225. Condición necesaria y suficiente.—226. Aplicación a la ecuación cúbica.—227. División de la circunferencia en cinco partes iguales.—228. División de la circunferencia en 17 partes iguales.—229. División de la circunferencia en siete partes iguales.—230. División de la circunferencia en 13 partes iguales.—231. División de la circunferencia en 11 partes iguales.—232, 233. División en un número primo de partes iguales.—234. División de la circunferencia en pa partes iguales.—235. Teorema de Gauss. NOTA Teoría elemental de la división de la circunferencia en partes iguales pág. [271] 1. Planteo analítico.—2. Construcción del pentágono.—3, 4. Construcción del eptágono y del eneágono.—5. División de la circunferencia en 17 partes.—6. Construcción del polígono de 17 lados. Indice alfabético pág. [277]
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ÍNDICE GENERAL --
CAPITULO PRIMERO --
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ECUACION --
§ 1. Función general de variable compleja pág. [1] --
1. Definiciones.—2. Límites.—3, 4. Continuidad.—5, 6, 7. Argumento de una variable compleja.—Ejercicios. --
§ 2. Función entera de coeficientes complejos pág. [6] --
8. Definiciones.—9. Propiedades de los polinomios.—10. Continuidad de la función entera.—11, 12. Variación del módulo de la función entera.—Notas.—1. Derivadas de la función entera.—2. Acotación de los ceros. --
§ 3. Raíces de las ecuaciones algebraicas pág. [13] --
13 a 16. Teorema fundamental del Algebra.—17, 18. Raíces múltiples.— 19 a 21. Continuidad de las raíces.—Notas.—1. Determinación de las raíces múltiples.—2. Teorema de Ostragradski.—Ejercicios. --
§ 4. Función entera de coeficientes reales pág. [21] --
22. Sigilo de los polinomios reales.—23, 24. Raíces reales de los polinomios reales.—28 a 32. Raíces múltiples.—Ejercicios. --
§ 5. Función racional de coeficientes reales pág. [26] --
33. Infinitos de la función racional.—34. Exceso algebraico de una función racional.—35, 36. Propiedades de] exceso algebraico.—37, 38. Cálculo del exceso algebraico.—39. Número de vueltas de una curva cerrada. --
CAPITULO II --
RESOLUCION DE LAS ECUACIONES NUMERICAS --
§ 6. Acotación de las raíces reales [34] --
40. Clasificación de las cotas.—41. Regla de acotación de Laguerre-Thi-bault.—42, 43. Regla de acotación de Newton.—Notas—Reglas de acotación.—Ejercicios , --
§ 7. Investigación de las raíces racionales [41] --
44, Cálculo de las raíces enteras.—45. Regla práctica.—46, 47. Raíces fraccionarias.—Notas.—Cálculo directo de las raíces fraccionarías.—Ejercicios. --
§ 8. Separación de las raíces irracionales pág. [46] --
4S Problema fundamental.—49, 50. Paridad del número de raicea.—51, 52. Teorema de Rolle.—53. Teorema de Sturm.—54. Teorema de Budan-Fourier.—55. Teorema de Descartes.—Notas.—1. Sucesiones de Sturm.'— 2. Teoremas de Fourier y Descartes.—8. Teorema de Laguerre. --
§ 9. Cálenlo de las raíces irracionales pág. [57] --
56. Sustituciones sucesivas.—57. Regla de Horner.—58. Método de Hornee.— 59. Regla de Newton.—Notas.—Método de Lagrange.—Aplicación de la regla de Horner al teorema de Budan-Fourier. --
§ 10. Resolución de ecuaciones transcendentes pág. [64] --
60. Regla de Newton.—61, 62. Regla de Newton-Fourier.—63. Regula falsj o por partes proporcionales.—64. Método mixto.—65. Método de iteración.— 66. Ecuaciones dadas por series.—Ejercicios. --
§ 11. Teoría de las raíces complejas pág. [76] --
67, 68. Variación del argumento sobre una curva.—69. Incrementos del argumento.—70 a 72. Variaciones de Arg s en una curva cerrada.—73, 74. Variaciones de Arg w.—75. Teorema de existencia de raíces.—76, 77. Teorema de D’Alembert.—78, 79. Número de ceros contenidos en un recinto. --
§ 12. Cálculo de las raíces imaginarias pág. [87] --
SO. Caso en que sólo existe un par de raices imaginarias conjugadas.—8'1. Método general de cálculo de raices complejas.—82 a 84. Separación de raíces por paralelas al eje y.—85. Separación por paralelas al eje x.—86. Método del sistema de dos ecuaciones.—Ejercicios.—Notas.—Problema de Kelvin.—Teoremas de Cohn. --
§ 15. Introducción al método de Gráffe pág. [101] --
87. Fundamento del método.—88, 89. Formación de las ecuaciones transformadas.—90, 91. Ecuaciones de raíces desiguales en valor 'absoluto.— Notas.—Relación entre el error de una variable real y el de una función real.—Ejercicios . --
§ 14. Estudió general del método Gráffe pág. [108] --
92. Relación entre los métodos de la función y la variable.—93 a 95. Teorema fundamental del método de Gráffe.—96 a 99. Práctica del método. Notas al capítulo II.—Método de Lili. --
CAPITULO III --
INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION --
§ 15. Interpolación entre valores cualesquiera pág. [120] --
100. Teorema de existencia.—101, 102. Fórmula de Lagrange.—103. Método de aproximaciones. Interpolación lineal.—104. Interpolación cuadrática.—Ejercicios. --
§ 16. Interpolación entre valores equidistantes pág. [125] --
105. Diferencias sucesivas de una función.—106. Diferencias sucesivas y extrapolación de la función entera.—107. Diferencias sucesivas de las factoriales.—108. Fórmula de interpolación de Newton.—100. Fórmulas de Bessel y de Stirling.—110. Transformación de la fórmula de Newton. --
8 17. Interpolación para funciones cualesquiera pág. [131] --
111. Expresión general de los coeficientes en la fórmula de interpolación parabólica.—112. Polinomios interpolares.—113. Término complementario de la interpolación. --
Notas al capítulo III.—I. Bibliografía.—II. La fórmula de Newton.—III. Progresiones aritméticas de orden superior. --
CAPITULO IV --
LA. ELIMINACION --
§ 18. El discriminante y las sumas simples pág. [137] --
114. Funciones simétricas.—115, 116. Sumas simples.—Regla de Girard.— 117. Fórmulas de Newton.—118, 119. Discriminante.—Ejercicio. --
§ 19. Métodos de eliminación del m. c. d. y dé Euler pág. [143] --
121. Definiciones.—122, 123. Método del m. c. d.—124, 125. Método de Euler.—126. Generalización.—127. Formación.—Ejercicios. --
§ 20. Método de eliminación de Bézout pág. [150] --
128 a 130. Método de Bézout.—131, 132. Investigación de las raíces comunes .—Ejercicio . --
§ 21. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pág. [156] --
133 a 135. Simplificación del problema.—136. Formación de la eliminante.— --
137. Grado de la eliminante.—137 (bis). Teorema restringido de Bézout.— --
138, 139. Teorema general de Bézout.—Método de Kronecker. --
CAPITULO V --
TEORIA ELEMENTAL DE LA RESOLUCION ALGEBRAICA --
§ 22. Funciones simétricas pág. [169] --
140. Sumas simples y múltiples.—141 a 143. Cálculo de las funciones simétricas enteras:—144, 145, Funciones simétricas fraccionarias. . --
§ 23. Resolución algebraica dé las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado pág. [173] --
146. Ecuación cuadrática.—147. Ecuación cúbica.—148. Ecuación cuártica.— 149, 150. La' resolución algebraica de ecuaciones.—Notas.—Método de Ferrari.—Ejercicio . --
§ 24. Ecuaciones que se reducen a otras de gradó inferior pág. [180] --
151. Ecuaciones reducibles e irreducibles.—152, 153. Criterio de Eisenstein. 154. Teorema de Gauss.—155. Irreducibilidad de la ecuación ciclotómica.— 156, 157. Ecuaciones de raíces opuestas.—158, 159. Ecuaciones de raíces recíprocas.—160. Ecuaciones binómicas.—Ejercicios. --
§ 25. Problemas geométricos de tercer grado pág. [187] --
161, 162. Planteo analítico.—163, 164. Simplificación de los irracionales cua-draticos.—165, 100. Racionalización de denominadores.—107. Teorema fundamental.—108. Duplicación del cubo.—169. Trisección del ángulo.—Notas. --
CAPITULO VI --
APLICACION DE LOS GRUPOS DE SUSTITUCIONES A LA RESOLUCION ALGEBRAICA DE LAS ECUACIONES --
§ 26. Grupos de sustituciones pág. [196] --
170. Definiciones.—171. Grupos y subgrupos notables.—172, 173. Teorema de Lagrange.—174. Propiedades del grupo alternado.—Ejercicios. --
§ 27. Funciones racionales no simétricas pág. [202] --
170. Grupo de una función racional.—176 a 179. Valores de una función racional. --
§ 28. El método de Lagrange y la resolución algebraica de ecuaciones pág. [205] --
180. Resolvente de Lagrange.—181. Aplicación a las ecuaciones de 2.°, 3.° y 4.° grados.—182. El método general de Lagrange.—183. Teoremas de Lagrange.—184. Las funciones de dos valores. --
§ 29. Campos de racionalidad e irracionales algebraicos pág. [212] --
185. Campos de racionalidad.—186. Reducibilidad e irreducibilidad.— 187. Propiedad fundamental de las ecuaciones irreducibles.—188. Irreducibilidad de la ecuación binómica de grado primo.—189. Irracionales algebraicos.—190, 191. Racionalización de ecuaciones.—192. Resolvente y teorema de Lagrange en un cuerpo' cualquiera.—193. Irracionales naturales.—194. Campo ampliado por la adjunción de un irracional algebraico.—195. Las ecuaciones normales reducibles.—Ejercicios. --
§ 30 Grupos de Galois y Teorema de Ruffini pág. [221] --
196. Definición del grupo de Galois.—197. Formación del grupo de Galois. 198. Ejemplos de grupos de Galois.—199. Condición necesaria de resolubilidad algebraica.—200. Grupo numérico de una función racional.—201. Funciones que tienen grupo numérico prefijado.—202. Reducción del grupo de Galois por adjunción de un irracional natural.—203. Reducción del grupo de Galois por adjunción de un radical natural.—204. Teorema de Ruffini;—Ejercicios. --
§ 31. Resolvente total de Galois y Teorema de Abel pág. [235] --
205. Resolvente total de Galois.—206. Irracionales naturales pertenecientes al campo.—207. Diversos valores de una función racional.—208. Adjunción de irracionales no naturales.—209. Irracionales conjugados y transformación de Tschirnháusen.—210. Inversión de la transformación de Tschirnhausen.—211. Teorema de Abel.—212. Ecuaciones sin afecto.— Ejercicios. --
CAPITULO VII --
RESOLUCION ALGEBRAICA EN GENERAL --
§32. Ecuaciones resolubles por radicales pág. [245] --
213. Relaciones entre el campo, el grupo y la resolvente total.—214. Resolventes normales sucesivas.—215. Indice del subgrupo obtenido por adjunción de una ecuación.—216. Grupo de la resolvente normal e irreducible.— 217. Ecuaciones cíclicas.—218. Resolución de las ecuaciones cíclicas.—219. Ecuaciones metacíclicas.—220. Ecuaciones abelianas.—Ejercicios. --
§ 33. La resolubilidad parcial por radicales pág. [256] --
221. Grupos transitivos e intransitivos.—222. Orden del grupo transitivo.— 223. Grupo regular.—224. Imposibilidad de la resolubilidad parcial por medio de radicales.—Ejercicios. --
§ 34. Ecuaciones resolubles por radicales cuadráticos pág. [260] --
225. Condición necesaria y suficiente.—226. Aplicación a la ecuación cúbica.—227. División de la circunferencia en cinco partes iguales.—228. División de la circunferencia en 17 partes iguales.—229. División de la circunferencia en siete partes iguales.—230. División de la circunferencia en 13 partes iguales.—231. División de la circunferencia en 11 partes iguales.—232, 233. División en un número primo de partes iguales.—234. División de la circunferencia en pa partes iguales.—235. Teorema de Gauss. --
NOTA --
Teoría elemental de la división de la circunferencia en partes iguales pág. [271] --
1. Planteo analítico.—2. Construcción del pentágono.—3, 4. Construcción del eptágono y del eneágono.—5. División de la circunferencia en 17 partes.—6. Construcción del polígono de 17 lados. --
Indice alfabético pág. [277] --
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