Catálogo de la biblioteca Antonio Monteiro - INMABB

Incluye referencias bibliográficas e índice.

Capítulo I: VARIABLES, FUNCIONES, LIMITES --
§ 1. Variables independientes. [13] --
—1. Introducción del número real por cortaduras.—2. Sucesiones monótonas convergentes.—3. Propiedades de los números reales.—4. Operaciones con números reales mediante cortaduras.—5. Clases contiguas de números reales.—6. Cortaduras y sucesiones en el campo real.—7. Representación geométrica de los números reales.—8. Constantes y variables.—9. Extremos de variables y conjuntos reales.—Ejercicios --
§ 2. Variables dependientes y límites. [23] --
— 1. Concepto de función.—2. Variables ordenadas y límites.—3. Límites de sucesiones reales.—4. Límites de funciones de una variable real.—5. Límites generalizados.—6. Funciones de varias variables.—Ejercicios --
§ 3. Límites ordinarios. [32] --
—1. Variables ordenadas.—2. Definición general de límite.—3. Variables independientes.—4. Sucesiones numerables.5. Funciones de una variable real.—6. Definición topológica de límite.—7. Unicidad del límite.—8. Límite de una función de función.—9. Desigualdades entre funciones y límites.—10. Límite de una función acotada entre otras dos.—11. Límites para x→0 de (sen x / x) y (1+x)1/x .—Ejercicios --
§ 4. Operaciones con límites. [40] --
— 1. Límites de sumas, diferencias, productos y cocientes.—2. Infinitésimos.—3. Infinitos.—4. Límites indeterminados.—5. Límites singulares de potencias y logaritmos.—6. Límites de la función potencial-exponencial.—7. Cálculo de límites indeterminados del tipo 1∞ .—Ejercicios --
§ 5. Infinitésimos e infinitos. [50] --
—1. Comparación de infinitésimos.—2. Infinitésimos equivalentes.—3. Ejemplos de infinitésimos trigonométricos.—4. Comparación de variables infinitas.—5. Sustitución de variables equivalentes.—6. Ordenes. de infinitud de los polinomios.-7. Ordenes fundamentales de infinitud.—Ejercicios. --
§ 6. Límites ¿e oscilación. [58] --
—1. Límites finitos de oscilación.—2. Límites infinitos de oscilación.—3. Propiedades de los límites de oscilación.-4. Criterio de convergencia de Bolzano-Cauchy.—5. Límites ordinarios de sucesiones parciales.—6. Cálculo de límites de oscilación. Ejercicios --
Notas al Capítulo primero. [64] --
—1. Concepto de función.—2. Límite aritmético y límite funcional.—3. Símbolos de Bachmann.—4. Expresión algorítmica de funciones.—5. Aproximación uniforme de funciones poligonales mediante polinomios.—6. Funciones dé partición --
Capítulo II: FUNCIONES CONTINUAS --
§ 7. Propiedades primeras de las funciones continuas. [66] --
—1. Continuidad en un punto.—2. Signo de una función continua.—3. Continuidad a la derecha y a la izquierda.—4. Continuidad en un intervalo.—5. Continuidad de las funciones monótonas.—6. Continuidad de las funciones elementales simples.—7. Continuidad de las funciones compuestas.—8. Concepto de curva.—Ejercicios --
§ 8. Ceros y extremos de las funciones continuas. [74] --
—1. Ceros de las funciones continuas.—2. Resolución de ecuaciones.—3. La propiedad D de las funciones continuas.—4. Existencia de funciones inversas. 5. Máximos y mínimos de funciones continuas.—6. Funciones semicontinuas.—Ejercicios --
§ 9. Funciones discontinuas. [79] --
—1. Existencia de un punto de discontinuidad.—2. Continuidad uniforme.—3. Oscilación de y(x) en un intervalo.—4. Oscilación en un punto.—5. Función superior y función inferior.—6. Puntos de discontinuidad evitable y verdaderos valores.—7. Discontinuidad de primera especie.—8. Funciones monótonas.—9. Discontinuidad de segunda especie.—10. Discontinuidades puntuales y totales.—11. Extremos de las funciones discontinuas en general.—Ejercicios --
Notas al Capítulo II. [87] --
—1. Noticia histórica.—2. Cotas, límites y extremos.-3. Aproximación uniforme de funciones continuas por poligonales y polinomios.—4. Teoría de las variables independientes o conjuntos lineales.—5. Clases de Baire.—6. Bibliografía. --
Capítulo III: FUNCIONES DERIVABLES [89] --
§10. El concepto de derivada.—1. Razón de incrementos.—2. El problema de la tangente.—3. La derivada en un punto.—4. La función derivada.—5. Derivadas a la derecha y a la izquierda.—6. Derivada infinita.—7. Continuidad de las funciones derivables.—8. Funciones continuas no derivables.—Ejercicios --
§ 11. Cálculo de derivadas. [97] --
—1. Linealidad de la derivación.—2. Derivada del logaritmo.—3. Funciones elementales compuestas.—4. Derivadas de las funciones inversas.—5. Derivada de la función de función.—6. Derivación logarítmica.—7. Derivada de un producto.—8. Derivada de un cociente.—9. Derivada de la potencia de una función.—10. Derivada de la exponencial de una función.— 11. Derivadas de sen x y arc sen x.—12. Derivadas de cos x y arc cos x.—13. Derivadas de tg x, arc tg x, ctg x y arc ctg x.—Ejercicios --
§12. Variación de las funciones. [106] --
— 1. Crecimiento y decrecimiento en un punto.—2. Criterios de crecimiento y decrecimiento.—3. Criterio general de monotonía y extremos.—4. Máximos y mínimos de funciones derivables.—5. Condiciones suficientes de máximo y mínimo.—6. Criterio l.°: Variación de la función.—7. Criterio 2.°: Variación de la derivada primera.—8. Criterio 3.° : Mediante la derivada segunda.—9. Máximos y mínimos de la función racional.— Ejercicios --
§13. Teorema del valor medio. [114] --
—1. Teorema de Rolle.—2. Teorema de Cauchy.—3. Fórmula del incremento finito.—4. Aplicaciones de la fórmula del incremento finito.—Ejercicios --
§ 14. Límites indeterminados. [117] --
—1. Los tipos racionales de indeterminación.2. La forma 0/0.—3. La forma ∞/∞ .—4. Las formas 0. ∞ e ∞-∞.5. Las formas 0o, ∞°, 1∞ .—6. Aplicación reiterada de la regla L’Hópital.—Ejercicios --
§ 15. Diferenciales y primitivas. [124] --
—1. Diferenciación. 2. Representación geométrica.—3. Reglas de diferenciación.—4. Diferencial de la función de función.—5. Primitivas e integrales indefinidas.—6. Integrales inmediatas.—Ejercicios --
§ 16. Cálculo integral. [129] --
—1. Integración de funciones racionales.—2. Método de sustitución.—3. Integración por partes.—4. Integrales elípticas.—Ejercicios --
§ 17. Aplicaciones geométricas de la derivada. [135] --
—1. Tangente y normal a una curva plana uniforme.—2. Curvas planas no uniformes.—3. Tangentes a las curvas planas no uniformes.—4. Tangentes a las curvas planas en coordenadas polares.—5. Tangente y plano normal de una curva alabeada.—6. Tangente en coordenadas esféricas.—Ejercicios --
Notas al Capítulo III. [141] --
—1. Fórmula de interpolación de Lagrange y descomposición en fracciones simples.—2. Criterio de Stolz.—3. Teorema fundamental de las primitivas --
Capítulo IV: FUNCIONES DERIVABLES SUCESIVAMENTE [143] --
§ 18. Derivadas y diferenciales sucesivas—1. Definiciones, notaciones y ejemplos.—2. Diferenciales sucesivas.—3. Generalización de la fórmula de Cauchy.—4. Derivada n-sima de un producto.—5. Generalización de la fórmula de Leibniz.—6. Derivadas de un determinante.—7. Función de Cauchy.—8. Ceros reales de las funciones continuas.—9. Cambios de signos de f(x) y f'(x).—10. Funciones esféricas de Legendre.—Ejercicios --
§19. La fórmula de Taylor. [153] --
—1. Fórmula de Taylor para las funciones enteras.—2. Fórmula general de Taylor.—3. Forma infinitesimal de Tn.—4. Forma de Lagrange.—5. Otras formas del término complementario.—6. Diversas expresiones de la fórmula de Taylor.—7. Forma integral del complemento.—Ejercicios --
§ 20. Aproximaciones sucesivas de las funciones. [158] --
—1. Aproximación lineal, concavidad, convexidad e inflexión.—2. Discusión mediante las derivadas sucesivas.—3. Discusión general de los máximos y mínimos relativos.—4. Desarrollo de las funciones elementales.—5. Aplicación a los límites indeterminados.—Ejercicios --
§ 21. Contactos y curvatura. [164] --
—1. Contacto de segundo orden.—2. Contacto de orden n.—3. Círculo osculador.—4. Curvatura en un punto y radio de curvatura.—5. Curvatura en coordenadas polares.—Ejercicios --
§ 22. Derivadas sucesivas de funciones compuestas. [169] --
—1. Método general.—2. Funciones F(x)=/(ex).—3. Función F(x) = eax2 y polinomios de Hermite.—4. Función F(x)=f(l/x).—5. Función F(x)=f(lx) --
Notas al Capítulo IV. [172] --
—1. Polinomios de Laguerre.—2. Coeficientes diferenciales.—-3. Schwarzianas.—4. Funciones convexas.Capítulo V: INTEGRALES DEFINIDAS --
§ 23. Concepto de integral definida. [176] --
—1. Concepto de área y volumen.—2. Particiones y sumas por defecto y por exceso.—3. Definición de integral según Riemann.—-4. Fórmula del valor medio.—5. Integrales inferior y superior.—6. Integrabilidad de las funciones monótonas y de las funciones continuas.—7. La integral como límite.8. Interpretación gráfica del concepto de integral.—Ejercicios --
§ 24. Propiedades fundamentales. [182] --
— 1. Permutación de extremos.—2. Propiedad aditiva respecto del intervalo.—3. Propiedad lineal respecto del integrando.—4. Propiedad de monotonía y teorema l.° de la media.—5. Integrales indefinidas.—6. Regla de Barrow.—7. Reglas prácticas para el cálculo de integrales definidas.—8. Cambio de variable.—9. Integración por partes.—10. Integrales en intervalo infinito.—11. La integral de Laplace y las funciones x! y Γ(x). Ejercicios --
§ 25. Aplicaciones geométricas de las integrales definidas. [192] --
—1. Método general.—2. Cuadratura de recintos planos. Coordenadas cartesianas.3. Coordenadas polares.—4. Cubatura de cuerpos.—5. Cuerpos de revolución.—6. Cubicación por descomposición en tubos.—7. Rectificación de curvas planas.—8. Curvas planas en coordenadas polares.—9. Rectificación de curvas alabeadas.—Ejercicios --
§ 26. Cálculo de algunas integrales definidas. [202] --
—1. Ejemplos importantes.2. Fórmula de Wallis.—3. Fórmula de Stirling.—4. Integral de Poisson o de Gauss.—Ejercicios --
Notas al Capítulo V. [206] --
— 1. Noticia histórica.—2. Bibliografía --
Capítulo VI: FUNCIONES ANALITICAS ELEMENTALES --
§ 27. Clasificación de las series enteras. [207] --
— 1. Campo y radio de convergencia.—2. Criterio de Cauchy.—3. Casos particulares.—4. Los tres tipos de series enteras.—5. Variación del término general.—6. Teorema de Pincherle.—Ejercicios --
§ 28. Convergencia uniforme. Continuidad. Derivación [213] --
1. Concepto de convergencia uniforme.—2. Definición general de convergencia uniforme,—3. Lema de Abel.—4. Criterios de convergencia de Abel v Dirichlet.—5. Teorema de Abel.—6. Continuidad de las series uniformemente convergentes.—7. Serie de derivadas de una serie entera.—8. Derivadas sucesivas de las series enteras.—Ejercicios --
§ 29. Desarrollos en serie entera. [223] --
-1. Definición.—2. Unicidad del desarrollo.—8. Desarrollo por la fórmula de Mac-Laurin.—Ejercicios. --
§ 30. Desarrollo de la función exponencial. Número e.227 --
—1. Función exponencial y=ex.—2.El número e.—3. Función de Hermite.—4.Trascendencia del número e.—5. Trascendencia de π y cuadratura del círculo.—Ejercicios --
§ 31. Desarrollo de las funciones circulares e hiperbólicas. [231] --
—1. Funciones y = senx, y = cos x.—2. Función y=arc tg x.—3. El número π.—4. Teoría aritmética de las funciones circulares e hiperbólicas.—Ejercicios --
§ 32. Serle logarítmica. [236] --
—1. Desarrollo de l(1+x). —2. Cálculo de logaritmos neperianos. —3. Tablas de logaritmos decimales.—4. Interpolación de logaritmos --
§ 33. Serie brnómica. [240] --
—1. Desarrollo de (l + x)|m.—2. Cálculo de raíces numéricas.—3. Convergencia para x = ± 1.—Ejercicios. --
§ 34. Otros métodos de desarrollo en serie. [243] --
— 1. Desarrollo de la función racional.—2. Desarrollo por división.—3. Método de los coeficientes indeterminados.—4. Inversión de una serie.—5. Series recurrentes.—Ejercicios --
§ 35. Funciones analíticas en general. [250] --
— 1. Concepto de función analítica.2. Prolongación analítica.—3. Funciones monogéneas.—4. Derivada de la función de función.—5. Derivación de funciones elementales.—6. Interpretación geométrica de la derivada.—Ejercicios --
Notas al Capítulo VI. [257] --
—1. Diversas teorías de las funciones analíticas.—2. Prolongación analítica de funciones multiformes.—3. Números de Bernoulli.—4. Desarrollos bernoullianos en serie.—5. Números de Euler.—6. . Aplicaciones de los números de Bernoulli.—7. Expresión de los números de Bernoulli.—8. Teorema de Staudt.—9. Teorema de Tauber (recíproco del teorema de Abel) --
Capítulo VIl: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES --
§ 36. Conjuntos de nuntos. [263] --
—1. Definiciones.—2. Intervalos.—3. Recintos.—4. Clasificación general de los conjuntos.—5. Conjuntos acotados y teorema de Bolzano.—6. Curvas de Jordan.—7. Curvas de Jordan sin tangentes.—8. Funciones continuas no deriva-bles.—9. Curvas de Peano.—Ejercicios --
§ 37. Límites y continuidad. [272] --
—1. Funciones.—2. Límites dobles.—3. Límites reiterados y límites radiales.—4. Funciones continuas.—5. Propiedades.—-Ejercicios --
§ 38. Derivadas y diferenciales primeras. [278] --
— 1. Derivadas parciales.—2. Fórmulas de los incrementos finitos.—3. Diferenciales totales y parciales.—4. Significado geométrico de la diferencial. Plano tangente.—5. Derivada en una dirección.—6. Representación gráfica. Gradiente.—7. Generalizaciones para n variables.—Ejercicios --
§ 39. Derivación de funciones compuestas e implícitas. [286] --
—1. Funciones compuestas de una variable independiente. --
—2. Derivación de funciones compuestas.—3. Caso de varias variables independientes.—4. Función implícita de una variable independiente.—5. Sistema de funciones implícitas.—6. Caso de varias variables independientes.—7. Funciones homogéneas.—Ejercicios --
§ 40. Teoremas de existencia ce las funciones, implícitas. [293] --
—1. Función definida por una ecuación.—2. Caso de varias variables.—3. Caso de dos ecuaciones.—4. Caso general.—5. Anulación idéntica del jacobiano.—Ejercicios --
§ 41. Derivadas sucesivas y fórmula de Taylor. [303] --
— 1. Definición y notaciones.—2. Permutación de las derivaciones.—3. Fórmula de Taylor para dos variables.—4. Generalización para más variables.—5. Aplicaciones geométricas.—Notas. 1. Permutación de derivadas.2. Condiciones necesarias para la permutación.—3. Fórmula diferencial de la fórmula de Taylor --
§ 42. Extremos relativos de funciones de dos variables. [310] --
— 1. Definición.—2. Funciones de dos variables.—3. Variación de una forma cuadrática binaria.—4. Extremos relativos de las funciones de 2.° grado. 5. Extremos relativos de f(x,y).Ejercicio --
§ 43. Teoría general de los extremos relativos. [315] --
— 1. Funciones de tres variables.—2. Extremos de funciones con variables ligadas. —3. Método de los multiplicadores de Lagrange.—4. El método de cuadrados mínimos.—Ejercicios --
§ 44. Clasificación de los puntos de las curvas y de las superficies. [325] --
—1. Puntos simples u ordinarios de las curvas.—2. Puntos dobles de las curvas.—3. Posición de una superficie respecto del plano tangente.—4. Intersección de la superficie con su plano tangente.— 5. Indicatriz de curvatura de una superficie.—Ejercicios --
Notas al Capitulo VIl. [331] --
— 1.—Teorema de Borel.—2. Sobre el principio de elección arbitraria y el principio del tercero excluido --
Capítulo VIII: INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES --
§ 45. Rectificación de arcos y variación total de funciones. [333] --
— 1. Arcos rectificables.—2. Criterio práctico para las curvas uniformes.—3. Variación total.—4. Criterio de Jordán.—5-. Propiedades de la variación y la longitud.—6. Convergencia según la norma.—7. Continuidad de la longitud.—8. Variación positiva, negativa y total.—9. Descomposición de Jordán.—Ejercicios --
§ 46. Integrales dobles. [341] --
—1. Conjuntos de extensión nula.—2. Concepto de integral doble.—3. La integral como límite.’—4. Integración de funciones continuas.—5. Cálculo de integrales dobles por integrales reiteradas.—6. Existencia de las integrales! reiteradas.— Ejercicios --
§ 47. Integrales múltiples en general. [347] --
— 1. Reducción a integrales simples.—2. Generalización del concepto de integral.—3. Cambio de variables en las integrales dobles.—4. Cambio de variables en las integrales múltiples.—Notas. 1. Coordenadas espaciales curvilíneas.— 2. Espacio cuadridimensional de Riemann y Relatividad.—Ejerci-cicios --
§ 48. Aplicaciones geométricas de las integrales múltiples. [354] --
—1. Volúmenes en coordenadas cartesianas.—2. Volúmenes en coordenadas polares,3. Areas de superficies curvas.—Notas.—1. Area de una superficie.— 2. Superficies en forma paramétrica.—Ejercicios --
§ 49. Integrales propias paramétricas. [361] --
—1. Preliminar.—2. Continuidad, integración y derivación de integrales paramétricas.—3. Regla general de derivación.—4. Continuidad, integración y derivación de integrales múltiples.—5. Equicontinuidad de funciones respecto de un parámetro.—6. Continuidad de las integrales paramétricas.—7. Familias compactas de funciones.—Ejercicios --
§ 50. Funciones primitivas e integrales curvilíneas. [367] --
— 1. Función primitiva -2. Definición de integral curvilínea.—3. Cálculo de integrales curvilíneas.—4. Caso en que existe potencial.—5. Integrales curvilíneas con tres variables.—6. Criterio para la existencia de potencial.— 7. La integración múltiple por partes. — Ejercicios,— Notas al Capítulo VIII. Evolución del concepto de medida --
Capítulo IX: TEORIA GENERAL DE LAS FUNCIONES ANALITICAS --
§51. La monogeneidad en un punto y en un recinto. [377] --
— 1. Definición.— 2. Ecuaciones características.—3.. Puntos en que existe derivada no nula.—4. Funciones regulares y funciones armónicas.—5. Teorema del módulo máximo.—6. El lema de Schwarz y sus aplicaciones.— 7. Punto impropio del plano complejo.—Ejercicios --
§ 52. Funciones multiformes y plano múltiple de Riemann. [386] --
— 1. Riemanniana de w=z2.—2. Funciones exponencial y logarítmica.—3. Función w= 1/2 (z + l/z).—4. Caso general.—Ejercicios. --
§ 53. Integración. [394] --
—1. Integral curvilínea de una función regular.—2. Teoremas fundamentales.—3. Caso de recinto mútiplemente conexo.—4. Integrales indefinidas.—5. Acotación y generalización.—6. Demostración de Goursat del teorema de Cauchy.—7. Primitivas en el campo complejo.—Ejercicios --
§ 54. La integral de Cauchy y sus aplicaciones. [406] --
—1. Residuo.—2. La integral de Cauchy.—3. Teorema del promedio.—4. Integrales de tipo Cauchy.—5. Derivadas sucesivas.—6. Desarrollo en serie entera.— 7. Analiticidad de las funciones monogéneas. —8. Desarrollos en series de potencias descendentes.—Nota.—Series de polinomios.— Ejercicios --
§ 55. Singularidades. [415] --
— 1. Singularidades evitables.—2. Clasificación de los puntos singulares aislados.—3. 'Clasificación de las funciones por sus singularidades.—4. Ceros- y teorema de identidad.—5. Residuo logarítmico.—6. Teorema de Picard y direcciones de Julia.—Ejercicios --
§ 56. Desarrollos en serie y producto. [423] --
— 1. Desarrollo de Laurent. — 2. Aplicación a los puntos singulares aislados.—3. Desarrollo en fracciones simples.—4. Productos infinitos.—5. Funciones enteras.—6. Complementos sobre funciones enteras.—7. Complementos sobre series de fracciones simples.—Ejercicios --
Nota al Capítulo IX. [432] --
— 1. Monogeneidad y analiticidad.—2. Las ecuaciones características de la monogeneidad.—3. D:versas representaciones de las funciones analíticas.—4. Otros artificios de prolongación analítica.—Bibliografía --
Capítulo X: ESPACIO DE HILBERT Y SERIES DE FOURIER --
§ 57. Espacios En y espacio real H. [437] --
—1. El espacio vectorial En ; sus axiomas fundamentales.—2. Espacio de Hilbert.—3. Espacios funcionales.—4. Espacio H complejo y espacio H abstracto.—Notas.— Ejercicios --
§ 58. Funciones ortogonales. [444] --
— 1. Sistemas ortonormales y coordenadas de funciones.—2. Error cuadrático de las sumas de Fourier.—3. Expresiones lineales con coeficientes cualesquiera.—4. Convergencia cuadrática y sistemas densos.—5. Aproximación uniforme y aproximación cuadrática.—6. Sistemas ortogonales completos y unicidad del desarrollo.—Notas.—Ejercicios --
§ 59. Generación de funciones ortogonales y polinomios notables. [450] --
—1. Ortogonalización de funciones.—2. Polinomios de Legendre.—3. Polinomios ortogonales respecto de un núcleo.—4. Polinomios de Jacobi o de Gauss.—5. Propiedades de mínimo de los polinomios ortogonales.-6. Polinomios de Laguerre y Hermite.—Ejercicios --
§ 60. Series trigonométricas. [455] --
— 1. Teorema fundamental de Riemann.—2. Integral de Dirichlet y su carácter local.—3. Criterio de convergencia de la serie de Fourier.—4. Ejemplos de desarrollos convergentes.—5. La suma (C) de las series de Fourier y las integrales S ngulares.— 6. El teorema de Fejér.—Ejercicios --
Notas al Capítulo X. [464] --
— 1. Series trigonométricas y funciones analíticas.—2. Convergencia generalizada (C) de variables, series e integrales.—3. Relación entre los espacios funcionales y el espacio H.—4. Integrales de Fourier.—5. Bibliografía sobre series trigonométricas, integrales de Fourier y funciones ortogonales.—6. Tabla de funciones ortogonales --
Capítulo XI: INTEGRALES (R) GENERALIZADAS --
§ 61. Integral de Riemann-Stieltjes. [469] --
—1. Definición.—2. Relación con la integral (R).—3. Los dos tipos capitales de integrabilidad.—4. Propiedades fundamentales.—5. Repartición discontinua de primera especie.—6. Nota sobre las funciones lineales continuas.—Ejercicios. --
§ 62. Integración por partes (R) y (St). [475] --
-1. Integración por partes.—2. Lema de Abel.—3. Tipo I del segundo, teorema de la media.—4. Tipo II del 2.° teorema de la media.—Notas --
§ 63. Integrales simples impropias. [479] --
— 1. Definiciones.—2. Criterio general de convergencia.—3. Caso de los dos extremos singulares.—4. Punto singular interior.—5. Valor principal de una integral en un punto singular.—6. Transformación de integrales en series.— Ejercicios;—Notas --
§ 64. Integrales absolutamente convergentes. [487] --
— 1. Integrando de signo constante. Método de comparación.—2. Criterio del orden de infinitud o infinitesimal.—3. Integrales simples absolutamente convergentes.—4. Convergencia de integrales dobles.—5. Integrales dobles absolutamente convergentes.—Ejercicio --
§ 65. Integrales (R) convergentes en general. [494] --
—1. Criterios de Abel y Dirichlet para integrales simples.—2. Generalización de las integrales impropias.—Notas.—1. Criterios de convergencia de Abel y de Di-richlet.—2. Sobre la equivalencia de integrandos en la convergencia condicional.—Ejercicios --
Capítulo XII: MEDIDA E INTEGRACION INFINITAMENTE ADITIVAS --
§ 66. Nociones previas de Aritmética y Lógica. [499] --
- 1. Conjuntos numerables. 2. Ejemplos de conjuntos numerables.—3. Algebra de clases.— 4. Reticulado progresivo de Em.—Ejercicios --
§ 67. Conjuntos elementales. [505] --
— 1. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. 2. Estructura de los conjuntos A y C.—3. Medida de los conjuntos A y C.—4. Conjuntos nulos (L).—5. Criterios característicos para la integrabilidad (R) en En—6. La integral (R) y la convergencia uniforme.—7. Aditívidad infinita de las medidas de conjuntos elementales.—8. Conjuntos generalizados de Cantor.—9. Curvas de Jordan con medida positiva;—Ejercicios --
§ 68. Medida de conjuntos e integral de Lebesgue. [517] --
—1. Medida infinitamente aditiva de conjuntos.—2. Funciones medibles e integral (L) Propiedades primeras.—3. Integral (L) de función acotada.—4. Método de Lebesgue.—5. Generalización de la integral (L). Funciones sumables.—6. Monotonía y primer teorema de la media.—-7. Teoremas de F. Riesz y Parseval.—8. Funciones acotadas en En.—9. Linealidad de la integral.—10. Teorema de la convergencia acotada.—11. Continuidad absoluta e integrales indefinidas.—12. Familias de funciones medibles.—Notas y Ejercicios.—1. Acotación de Fatou.—2. Teorema de Fischer.—3. Conjunto no medible de Haus-dorff.—4. Ejercicios sobre límites de integrales --
§ 69. Generalizaciones de la integral de Lebesgue. [583] --
—1. Definición de la integral Rg y ejemplos.—2. Linealidad y monotonía de la integral Rg.—3. Propiedades generales de la integral absoluta Rg.—4. Comparación de los diversos conceptos de integral.—5. Integración condicional en orden prefijado.—6. Continuidad absoluta y variación total de las integrales indefinidas Rg en E1—7. Insuficiencia de la integral L para la regla de Barrow.—8. Integración de derivadas.—9. Generalización de Hölder y totalización de Denjoy.— Nota sobre la integral Rg.—Ejercicios --
Notas al Capítulo XII. [547] --
—1. Criterio general de mensurabilidad y sus aplicaciones.—2. Conjuntos B y funciones B.—3. Bibliografía --
Tabla metódica de integrales definidas [549] --
Indice de temas e indice onomástico [552] --

MR, 15,941e