Catálogo de la biblioteca Antonio Monteiro - INMABB

Director de tesis: Hernán Cendra.

"Tesis de Magíster en Matemática".

Tesis(magíster)--Universidad Nacional del Sur. Departamento de Matemática, 1998.

Incluye referencias bibliográficas.

MR, REVIEW #

Introducción: Los orígenes de la teoría de la bifurcación de Hopf se remontan a trabajos de Poincaré [95] donde encontramos la discusión del efecto de un cambio de estabilidad de un foco en la creación de un ciclo límite. En los trabajos de Andronov [4,5,6,7,8] se prueba la conjetura, planteada por Poincaré, sobre la existencia de ciertas órbitas periódicas. Una primera exposición sistemática de la teoría para n dimensiones, que incluye un análisis de la estabilidad, se debe a E. Hopf [53]. Aparentemente Hopf no conocía los trabajos de Andronov. En opinión de Arnold [10] estos trabajos no eran conocidos en el Oeste. Una idea rápida de la cuestión planteada por Hopf se puede obtener leyendo la traducción de la primera parte del artículo original de Hopf que aparece en la Sección 1.2. El estudio de oscilaciones en torno a puntos de equilibrio en aplicaciones ha impulsado el desarrollo de la teoría, extendiéndola en varias direcciones y aplicándola en numerosos e importantes ejemplos de física, ingeniería, biología, economía, etc. Cabe mencionar que entre las motivaciones originales de Poincaré, Andronov y Hopf se encuentra el estudio de problemas de oscilaciones de fluidos y problemas de mecánica. El contexto matemático en el cual se enuncian y prueban las diversas extensiones del teorema de bifurcación de Hopf también ha evolucionado dando resultados cada vez más poderosos. En el teorema original de Hopf se asume analiticidad de los datos, lo cual al mismo tiempo da una herramienta para las demostraciones y produce familias analíticas de órbitas. Más modernamente suelen elegirse hipótesis de regularidad de tipo Cr, r = 1, ..., para los datos. Además con la poderosa motivación de los problemas de mecánica del continuo que ya aparecen en el trabajo de Hopf, se dan versiones del teorema de bifurcación de Hopf en espacios de Banach o de Hilbert. La debilitación de las hipótesis originales de Hopf conduce a estudiar los llamados casos de degeneración. La versión del teorema de bifurcación de Hopf que veremos aquí utiliza como herramienta principal la redución de Lyapunov-Schmidt y la teoría de singularidades. Notemos que existen otras demostraciones basadas por ejemplo en la teoría de la variedad centro o el teorema de la función implícita de modo directo. Se observa que el método de redución de Lyapunov-Schmidt es a su vez una consecuencia del teorema de la función implícita y de los métodos de balance armónico [3]. También se usan métodos topológicos para obtener resultados de tipo global [2, 26, 27, 59, 60, 61]. El objeto principal de esta tesis es estudiar algunos de los casos de degeneración sobre la base de trabajos recientes. En el primero de los trabajos que se verán en detalle, los teoremas se dan en el contexto de espacios infinito dimensionales pero en esta tesis se prefiere hacer una adaptación al caso finito dimensional, lo cual ya es de por si de gran interés y tiene la ventaja de ofrecer una mayor simplicidad en la exposición, manteniendo el mismo esquema básico. Los demás resultdos se verán en el contexto utilizado por sus autores, en particular se recupera al final la versión infinito dimensional del primer trabajo, como caso particular de un resultado más general. Como consecuencia se obtiene un panorama actualizado del conocimiento en este campo, el cual permanece activo. Los resultados infinito dimensionales poseen mucha importancia dada su aplicabilidad en innumerables problemas de interés como por ejemplo la mecánica de los fluidos y las ecuaciones de reacción-difusión. Un concepto de fundamental importancia para el enunciado y demostración de los casos de degeneración que se estudian en esta tesis, es el de número de cruce. Un resultado que unifica las definiciones anteriores existentes es el que encontramos en los trabajos de Esquinas [33,34], Esquinas y López-Gomez [35]. Deseamos mencionar que se puede, en principio, encarar el problema de definir el número de cruce, al menos en el caso finito dimensional, estudiando alguna noción de la multiplicidad de intersección de la curva que representa el polinomio característico de la linealización del sistema dependiente del parámetro (unidimensional), con el borde de la zona de Hurwitz. Cabe destacar que no se halla en la literatura una definición formal de la noción de bifurcación de Hopf, esta última es, por otra parte, completamente clara en ejemplos importantes. En el Capítulo I se da una condición necesaria. Las diversas versiones del teorema de bifurcación de Hopf dan condiciones suficientes. Un aspecto muy importante de la teoría general de bifurcación, y en particular bifurcación de Hopf, es la presencia de simetría, ver [44, 105]. En el caso de bifurcación de Hopf aparece naturalmente S1 como grupo de simetría, actuando por una traslación de la fase de la órbita periódica. En el proceso de reducción esto se traduce en una simetría con grupo de simetría Z2. Otro aspecto de gran importancia es el problema de la determinación de puntos de bifurcación de Hopf en el espacio de parámetros, especialmente de un sistema multiparamétrico. Existen numerosos trabajos al respecto [19, 46, 75, 96, 97, 101, 102]. En esta tesis se da una versión abreviada del trabajo original [19]. Este trabajo ha sido implementado computacionalmente y provee una herramienta eficaz para hallar puntos de bifurcación de Hopf no-degenerados para sistemas 4-dimensionales. En principio sería factible extender estos resultados y su implementación computacional para más dimensiones incluyendo casos de degeneración. La implementación computacional de los resultados teóricos de bifurcación, en particular bifurcación de Hopf avanza aceleradamente. En la actualidad se dispone de varios paquetes de software para ecuaciones diferenciales ordinarias, por ejemplo AUTO [32] y LOCBIF [67].// CALIFICACION DEPARTAMENTO DE GRADUADOS Calificación de la defensa oral:Sobresaliente - 10 (diez) Fecha:20/8/98