Catálogo de la biblioteca Antonio Monteiro - INMABB

"Tesis de Magíster en Matemática".

Directora de tesis: Isabel Bermejo Díaz; codirector: Manuel Abad.

Tesis (magíster)--Universidad Nacional del Sur. Departamento de Matemática, 1998.

Incluye referencias bibliográficas.

MR, REVIEW #

En diferentes ramas de ciencia o ingeniería la resolución de un problema se reduce al de resolver sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables. Estos pueden derivarse por ejemplo de aproximaciones de ecuaciones diferenciales y/o integrales obtenidas en la modelización de un problema real, de descripciones geométricas, etc. En los últimos años, gracias al desarrollo de los lenguajes de Algebra Computacional, los métodos simbólicos han permitido atacar con éxito numerosos problemas, que por su naturaleza, se encuentran fuera del alcance de los métodos numéricos. Sin embargo, y a pesar de que los métodos simbólicos proveen una descripción exacta de la estructura del conjunto solución (número de soluciones, dimensión del espacio solución, etc.), y de las soluciones individuales, aún se encuentran limitados a problemas de tamaño modesto. Por otro lado las herramientas numéricas permiten resolver problemas de gran tamaño pero sólo pueden aplicarse a aquellos que tienen un número finito de soluciones. Además resulta fundamental analizar la calidad de la aproximación de la solución y verificar mediante un proceso de resubstitución que no se ha obtenido una solución errónea. Resulta entonces difícil señalar la supremacía de un método sobre otro, y la elección de la herramienta dependerá del problema original y de su modelización. La combinación de los métodos simbólicos con los numéricos será la alternativa ideal para obtener la solución del problema. Una vez planteado y obtenido el modelo matemático del mismo, resulta conveniente comenzar con el estudio simbólico cuando el tamaño del problema lo permite. Esto se debe a que comunmente las ecuaciones pueden simplificarse, lo que facilita el estudio numérico y permite obtener la solución con mayor probabilidad de éxito. Es posible que uno u otro estudio nos lleve a un nuevo planteamiento del problema, antes de obtener los resultados. El objetivo de esta tesis es presentar una descripción formal de los métodos simbólicos y numéricos más utilizados para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales con un número finito de soluciones, poniendo énfasis en el análisis de la combinación de ambos, ya que esta permitirá en un futuro cercano significativos progresos computacionales. En los primeros cinco capítulos nos ocuparemos de describir diferentes métodos simbólicos que han sido desarrollados para resolver un sistema de ecuaciones polinomiales f1(X1,...,Xn) = 0 / fs(X1,...,Xn) = 0 en n indeterminadas con coeficientes en un cuerpo K. Si bien la mayoría de los métodos existentes sirven para resolver sistemas arbitrarios, en esta tesis sólo nos interesarán aquellos que poseen un número finito de soluciones. El teorema de la base de Hilbert [1], [6], [9], [49] nos dice que el ideal I, generado por los polinomios f1, f2,...,fs es finitamente generado. En los capítulos 1 y 2 demostraremos este teorema y veremos un algoritmo de división en el anillo de polinomios K[X1,...,Xn], lo que nos permitirá introducir las bases de Gröbner del ideal I [1], [6], [9], [49]. Estas bases resuelven el problema de pertenencia a un ideal y a partir de una base de Gröbner de I para el orden lexicográfico se obtiene un método para eliminar variables en el sistema de ecuaciones similar al método de Gauss. También probaremos el teorema de los ceros de Hilbert [6], [9], [43], [50], y daremos un algoritmo para determinar la compatibilidad del sistema. Para obtener los ceros resulta útil calcular el radical y la descomposición primaria del ideal generado por los polinomios del sistema. En los capítulos 3, 4 y 5 veremos diversos algoritmos desarrollados para calcular el radical y la descomposición primaria de un ideal de dimensión cero [11], [24], [16], [40], cómo calcular los ceros reales de un sistema de ecuaciones con un número finito de soluciones [6], [41] y cómo descomponer un sistema en sistemas más simples que hagan más fácil la resolución [46], [52]. En el capítulo 6 daremos los métodos numéricos más utilizados para calcular las raíces de un polinomio y para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales en general [4], [8], [38], [57]. Para finalizar en el capítulo 7, presentaremos varios ejemplos en donde puede apreciarse la conveniencia de utilizar métodos simbólicos, numéricos o bien la combinación de ambos [2], [23], [51], [53]. También daremos la solución que dan los sistemas de álgebra computacional Axiom, Macsyma, Maple, Matehnatica, MuPAD y Reduce a problemas clásicos [30]. En el apéndice que incluimos al final de la tesis describiremos brevemente algunos métodos lineales muy útiles para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales de dimensión finita [29]. CALIFICACION DEPARTAMENTO DE GRADUADOS Calificación de la defensa oral: Sobresaliente - 10 (diez) Fecha: 13/10/98