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"Tesis de Magíster en Matemática".

Director de tesis:. Hernán Cendra.

Tesis (magíster)--Universidad Nacional del Sur. Departamento de Matemática, 2002.

Incluye referencias bibliográficas.

MR, REVIEW #

El propósito de esta introducción es dar una breve referencia histórica sobre el tema que es objeto de esta tesis, Estabilidad y Robutez de Sistemas Lineales, y una descripción del contenido de la misma. En esta tesis desarrollamos aspectos básicos de análisis de estabilidad y robustez de sistemas lineales autónomos. Se trata de un tema muy común en algunas áreas de la matemática sobre el cual se han escrito gran cantidad de artículos desde el siglo. De acuerdo con Lyapunov [36]. la solución cero de un sistema de ecuaciones diferenciales x = Ax + O (ºxº²) es estable si todas las ra¿ces de la ecuación secular a( ) ³A - I³ = O tienen parte real negativa, i.e., si a( ) es un polinomio estable-Hurwitz. Por ello, es de gran importancia en campos de la matemática donde se investiga la estabilidad de sistemas eléctricos, mecánicos, físicos, bilógicos, económicos, etc., hallar condiciones para que todas las raíces de una ecuación algebraica dada pertenezcan al semiplano complejo izquierdo. Los estudios sistemáticos sobre estabilidad se remontan a 1868 cuando el físico británico J. C. Maxwell, uno de los fundadores de la teoría de reguladores, propuso el problema matemático de hallar condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales todas las raíces de un ecuación algebraica de grado arbitrario dada tienen parte real negativa. Previamente Maxwell [41] y más tarde Vyshnegradskii [59] (1876), en sus respectivos artículos sobre reguladores habían establecido y aplicado condiciones algebraicas apropiadas para ecuaciones de grado menor o igual que tres. Este problema ya había sido resuelto en esencia por el matemático francés Hermite [27] en un artículo publicado en 1856. En su trabajo, Hermite estableció una estrecha conexión entre el número de raíces de un polinomio complejo en un semiplano arbitrario y aún dentro de un triángulo arbitrario) y el signo de una cierta forma cuadrática. Pero este resultado no estaba escrito en un contexto de modo que pudiera ser utilizado por los especialistas en campos aplicados y no tuvo mayor relevancia en este terreno. En 1875 el matemático británico Routh [52], [53], utilizando el teorema de Sturm y la teoría de índices de Cauchy, cró un algoritmo para determinar el número k de raíces de un polinomio real en el semiplano complejo derecho ({z : Re(z) > O}). En el caso particular en que k = O este algoritmo da un criterio para la estabilidad Hurwitz del polinomio. En 1895 A. Hurwitz [29], sobre la base del trabajo de Hermite, dió otra solución independiente de la de Routh. Las desigualdades con determinantes obtenidas por Hurwitz son conocidas actualmente como las desigualdades de Routh-Hurwitz. Sin embargo, según Gantmacher [23], aún antes de que apareciera el artículo de urwitz, el fundador de la teoría de la estabilidad moderna, A. M. Lyapunov [36] probó un teorema que provee condiciones necesarias y suficientes para que todas las raíces de la ecuación característica de una matriz real tengan parte real negativa. Estas condiciones, basadas en formas cuadráticas, fueron utilizadas en varios trabajos sobre teoría de reguladores. Un nuevo criterio de estabilidad fué creado en 1914 por Liénard y Chipart [35]. Utilizando formas cuadráticas especiales, estos autores obtuvieron un criterio de estabilidad que tiene ventajas sobre el criterio de Routh-Hurwitz en el sentido que el número de desigualdades con determinantes es aproximadamente la mitad del número que aparece en el criterio de Routh-Hurwitz (ver Gantmacher [23]. El estudio de estabilidad de familias de polinomios o estabilidad robusta y de sistemas con parámetros variables aparece en los trabajos de Markov y Chebyshev de fines de 1800 quienes establecieron algunos teoremas importantes concernientes a familias de polinomios y dominios de estabilidad (ver Gantmacher [23]). El estudio de estabilidad de familias de polinomios o estabilidad robusta y de sistemas con parámetros variables aparece en los trabajos de Markov y Chebyshev de fines de 1800 quienes establecieron algunos teoremas importantes concernientes a familias de polinomios y dominios de estabilidad robusta y de sistemas con parámetros variables aparece en los trabajos de Markov y Chebyshev de fines de 1800 quienes establecieron algunos teoremas importantes concernientesa familias de polinomios y dominios de estabilidad (ver Gantmacher [23]. La formulación de problemas básicos de robustez y sus soluciones para varias clases especiales son de larga data. Por ejemplo, en el trabajo de Neimark [43] (1949), encontramos técnicas efectivas para el análisis de estabilidad robusta cuando se trabaja con un número pequeño de parámetros desconocidos. En el libro de Siljak [56] (1969), se consideran clases especiales de problemas de análisis de estabilidad robusta para sistemas con parámetros reales desconocidos. Uno de los resultados más significativos sobre estabilidad a nivel lineal de un sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes que dependen de un parámetro, es el trabajo de V. L. Kharitonov [32] que apareció en una publicación sobre ecuaciones diferenciales en 1978. Este artículo comenzó a recibir atención por parte de especialistas en el campo de teoría de control en 1983 y por una década impulsó una gran cantidad de resultados de investigadores interesados en robustez de sistemas con parámetros reales desconocidos. En numerosas ocasiones, el mismo resultado con diferentes autores, aparecía en dos revistas casi simultáneamente. CALIFICACION DEPARTAMENTO DE GRADUADOS Calificación de la defensa oral: Sobresaliente - 10 (diez) Fecha: 17/05/02