Catálogo de la biblioteca Antonio Monteiro - INMABB

Contiene notas bibliográficas e índices.

INDICE GENERAL --
PRIMERA PARTE --
EL NUMERO NATURAL --
CAPITULO I.— OPERACIONES ARITMETICAS FUNDAMENTALES --
§ 1. Conjuntos finitos [17] --
Unidad y conjunto. Determinación de un conjunto. Conjuntos ordenados. Conjuntos finitos; Notaciones. --
§ 2. Propiedades de los conjuntos finitos [22] --
Principio de inducción completa en los conjuntos finitos. Coordinación de conjuntos. Propiedades de la coordinación de conjuntos. Comparación de conjuntos. Sucesiones de elementos. Ejercicios. --
§ 3. Los números naturales y la Aritmética [27] --
Números naturales. Número cardinal de un conjunto. Aritmética. Símbolos numéricos. Operaciones aritméticas. --
§ 4. Producto de números [32] --
Composición de dos conjuntos. Producto de dos números. Leyes formales de la multiplicación. Módulo de la multiplicación. Producto de varios números Potencias y monomios. Símbolo Π --
§ 5. Suma de números [37] --
Agregación de conjuntos. Leyes formales de la adición. La multiplicación como caso particular de la suma. Producto de potencias de igual exponente. Producto de potencias de igual base. Método de inducción. Ecuaciones. Símbolo S. --
§ 6. Igualdades y desigualdades [43] --
Concepto de mayor y menor. Sucesión de igualdades y desigualdades. Ley de monotonía en la adición. Ley de monotonía en la multiplicación. Ejercicios. --
§ 7. Sustracción.—Suma y diferencia de polinomios [46] --
Diferencia entre dos números. Propiedades de la diferencia. Cálculo con diferencias. Supresión de paréntesis. Polinomios. Sumas y diferencias de polinomios. Ejercicio. --
§ 8. Producto de polinomios [51] --
Producto de dos sumas. Producto de varias sumas. Productos de sumas y diferencias. Casos notables. Producto de un número por cero. Valor numérico de un polinomio. Ejercicios. --
§ 9. División exacta de dos números [56] --
Propiedades primeras de los múltiplos. Cociente exacto de dos números. Propiedades del cociente exacto. Ejercicios. --
§ 10. División entera [59] --
Definición de la división entera. Propiedades del cociente entero. Ejercicios. --
§ 11. Algoritmo de la numeración [62] --
Objeto de la numeración. Teorema fundamental de la numeración. Expresión de un número en el sistema de base n. --
§ 12. Propiedades de la numeración [65] --
Propiedades fundamentales. Criterios de igualdad y desigualdad. Paso de un sistema de numeración a otro. Numeración con cifras mínimas. Ejercicios. --
§ 13. Practica de la adición y multiplicación en un sistema de base cualquiera [69] --
Adición.Prueba de la adición.Multiplicación.Métodos prácticos de multiplicación. Ejercicios. --
§ 14. Práctica de la sustracción y de la división [74] --
Sustracción. Sumas y diferencias combinadas. División entera. Caso general de la división. Ejercicios. --
§ 15. Extracción de la raíz entera [79] --
Potenciación. Raíz exacta. Raíz entera. Teoremas fundamentales de la raíz cuadrada. Extracción de la raíz cuadrada entera. Extracción de la raíz m-sima. Ejercicios. --
Notas [83] --
Bibliografía. Conjuntos finitos e infinitos. Aritmética axiomática. Método genético. Teoría formal de las operaciones. Evolución de los signos aritméticos. --
CAPITULO II.—TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD NUMERICA --
§ 1. Divisores y múltiplos comunes a varios números [87] --
Definiciones. Divisores comunes de dos números. Cálculo del •m. c. d. de dos números. Propiedades del m. c. d.' de dos números. Múltiplos comunes a dos números. Divisores comunes a varios números. Múltiplos comunes a varios números. Módulos de números. .Descomposición en núcleos. Ejercicios. --
§ 2. Números primos [93] --
Definiciones. Propiedades de los números primos. Obtención de los números primos. Fórmulas que dan números primos. Ejercicios. --
§ 3. Números compuestos [97] --
Criterio general de divisibilidad. Cálculo del m. c. d. y del m. c. m. Diversos teoremas sobre divisibilidad. Obtención de todos los divisores de un número. Suma y producto de los divisores de un número. Descomposición de mi en factores primos. Divisibilidad de factoriales. Ejercicios. --
§ 4. Números congruentes [103] --
Definiciones. Criterio fundamental. Operaciones con congruencias. Cálculo de los restos potenciales de un número. Comprobación de las operaciones elementales. --
§ 5. Sistemas de números incongruentes [107] --
Sistemas completos de números incongruentes. Congruencia de Fermat, Indicador de un número. Propiedades del indicador. Congruencia de Euler. Números asociados. Teorema de Wilson. Ejercicios. --
§ 6. Restos potenciales [112] --
Definición. Primer caso. Segundo caso. Tercer caso. Generalización de los restos potenciales. Raíces primitivas. Indices modulares. Ejercicios. --
§ 7. Criterios prácticos de divisibilidad [118] --
Criterio general de divisibilidad. Criterios de divisibilidad en el sistema decimal. Comprobación de las operaciones aritméticas. --
§ 8. Ecuaciones diofánticas [121] --
Definiciones. Ecuación lineal con dos incógnitas. Ecuación z2— y2 = a. Ecuación pitagórica: x2 + y2 = z2. Ejercicio. --
*§ 9. Ecuaciones de congruencia [125] --
Definiciones. Ecuación lineal; Ax ≡ C (mód. M). Restos cuadráticos. Restos cuadráticos respecto de un módulo primo. Ecuación cuadrática Ax2≡C (mód. Af). Ecuación binómica A xh ≡ C (mód. M). Ejercicio. --
*Notas [129] --
Teoría de los números. Reseña histórica. Bibliografía. Número de divisiones en el algoritmo de Euclides. Problemas y teoremas sobre números primos. Números perfectos y amigos. Indicador. Ecuaciones diofánticas. Tablas numéricas. Tabla de números asociados. Ley de reciprocidad. --
CAPITULO III.—ANALISIS COMBINATORIO. --
§ 1. Variaciones [134] --
Problemas fundamentales de la Combinatoria. Definición de las variaciones. Formación y número de las variaciones. Ordenación de las variaciones. Variaciones con repetición. Ejercicios. --
§ 2. Permutaciones [138] --
Número de las permutaciones. Formación ordenada de las permutaciones. Inversiones de una permutación. Permutaciones con repetición. Ejercicios. --
§ 3. Combinaciones [142] --
Definición. Número de combinaciones. Formación de las combinaciones. Números combinatorios. Relaciones entre números combinatorios. Números figurados. Combinaciones con repetición. Número de las combinaciones con repetición; Número de términos de un polinomio completo. Ejercicios. --
§ 4. Potencias de binomios y polinomios [150] --
Productos de binomios. Potencia de un binomio. Potencia de un polinomio. Suma de potencias de números naturales. Binomio de Vandermonde. Ejercicios. --
§ 5. Sustitución entre n elementos [156] --
Definiciones. Producto de sustituciones. Propiedades del producto. Sustituciones conmutables. Sustituciones circulares. Descomposición en ciclos. Descomposición en trasposiciones. Potencias de una sustitución. Ejercicios. --
§ 6. Grupos de sustituciones [164] --
Definiciones. Grupos y subgrupos notables. Teorema fundamental. Indice de un grupo. Ejercicios. --
*Notas [168] --
Reseña histórica y bibliográfica. Inversiones de una permutación. Partición de los números. Combinaciones de producto dado. Tríadas de Steiner. Fórmula de Abel. --
SEGUNDA PARTE --
EL NUMERO RACIONAL --
CAPITULO IV.—OPERACIONES ELEMENTALES. --
§ 1. El concepto de número racional [173] --
Fracció-nes positivas y negativas. Igualdad de fracciones. Fracciones irreducibles. Números racionales, positivos y negativos. Números enteros y fraccionarios. --
§ 2. Adición y sustracción de números racionales [178] --
Principio de permanencia de las leyes formales. Adición. Leyes formales de la adición. Sustracción. Sumas algebraicas. Ejercicios. --
§ 3. Desigualdad entre números racionales [182] --
Leyes formales de la desigualdad. Suma y diferencia de desigualdades. Valor absoluto de una suma algebraica. Crecimiento indefinido y crecimiento infinito. Ejercicios. --
§ 4. Multiplicación y división de números racionales [185] --
Definición del producto. Leyes formales de la multiplicación. Generalización de las reglas operativas. Producto de desigualdades. Cociente de dos números racionales. Cociente entero y cociente completo de números naturales. Cuerpos, anillos, módulos y grupos. Ejercicios. --
§ 5. Fracciones de términos racionales [191] --
Definición y operaciones. Potencias de exponentes negativos. Series de fracciones iguales. Series de fracciones desiguales. Medios aritméticos, geométricos y armónicos. Ejercicios. --
*§ 6. Teoría de las magnitudes [197] --
Igualdad y desigualdad. Definiciones por abstracción. Magnitudes y cantidades. Magnitudes escalares. Magnitudes absolutas y relativas. Unidades alícuotas. Medida de las magnitudes. Segmentos de una recta. Adición y sustracción de segmentos. Producto de cantidades por números. Producto de segmentos. --
CAPITULO V.—ALGORITMOS DE ITERACION. --
§ 1. Algoritmo de las progresiones [207] --
Progresiones aritméticas ordinarias.Progresiones geométricas ordinarias. Progresiones hipergeométricas. Algoritmo de las factoriales. --
§ 2. Algoritmos de sumas y diferencias [212] --
Sumas alternadas. Suma alternada notable. Algoritmo de las sumas sucesivas. Algoritmo de las diferencias. Progresiones aritméticas de orden superior. --
§ 3. Algoritmo de los cumulantes [217] --
Definición; Propiedades de los cumulantes. Algoritmo de Euler. Resolución en números enteros de la ecuación lineal ax+by=c. Ejercicios. --
§ 4. Algoritmo de las fracciones continuas [221] --
Definiciones. Desarrollo de un número racional en fracción continua. Reducidas. Propiedades de las reducidas. Fracciones continúes inversas. Fracciones continuas simétricas. Reducidas intercaladas. Ejercicios. --
Notas [228] --
Bibliografía. Aplicaciones a la teoría de números. Fracciones continuas generales. Sucesiones de Brocot y de Farey. --
CAPITULO VI.—ALGORITMO DE LÓS DETERMINANTES. --
§ 1. Definiciones y propiedades fundamentales [229] --
Matrices cuadradas. Determinantes. Determinantes de segundo y tercer orden. Transformaciones de un determinante. Ejercicios. --
§ 2. Desarrollo de un determinante en suma de varios [235] --
Adjuntos. Desarrollo por los elementos de una línea. Descomposición de un determinante en suma de varios de igual orden. Desarrollo por los elementos de una fila y una columna. Ejercicios. --
§ 3. Desarrollo por menores complementarios.—Producto de determinantes [241] --
Definiciones. Desarrollo por menores complementarios. Producto de determinantes. --
§ 4. Determinantes especiales [248] --
Determinantes recíprocos. Determinantes de Vandermonde. Determinantes simétricos. Determinantes hemisimétricos. Determinantes orto-simétricos. Continuantes. Ejercicios. --
§ 5. Cálculo de matrices [255] --
Definiciones. Dependencia lineal de filas y columnas. Característica de una matriz. Cálculo de la característica. Aplicación geométrica. Producto de matrices. --
Notas [261] --
Bibliografía. Teorema de Hadamard. Teorema de Sylvester. Determinantes de varias dimensiones. --
CAPITULO VIL—ALGORITMO ALGEBRAICO. --
§ l. Expresiones y funciones algebraicas [263] --
Expresiones algebraicas. Valor numérico de las expresiones. Reducción a forma típica de las expresiones raciónales. Concepto de función. Concepto de función algebraica. Ejercicios, --
§ 2. Operaciones enteras con polinomios [270] --
Suma y diferencia de polinomios. Producto de polinomios. División entera de polinomios de una variable. División de un polinomio por x — α. División de xn ± αn por x ± α. Escolio general. División entera de polinomios de. varias variables. Ejercicios. --
§ 3. Descomposición factorial de los polinomios.—Principios de identidad [278] --
Descomposición factorial de un polinomio de una variable. Principio de identidad de los polinomios de una variable. Principio de identidad de polinomios de varias variables. Generalzación de algunos resultados anteriores. Método de los coeficientes indeterminados. --
§ 4. Divisibilidad algebraica [283] --
Propiedades primeras. Funciones enteras primas. Divisibilidad de monomios; M. C. D. de dos polinomios de una variable. M. C. D. de varios polinomios de una variable. Divisores independientes de una variable en los polinomios de varias letras. Divisores primitivos de los polinomios de varias letras. M. C. D. de los polinomios de varias letras. Fracciones algebraicas irreducibles. --
§ 5. Planteamiento y transformación de las ecuaciones [291] --
Problemas que resuelve el Algebra. Ejemplo de planteamiento y discusión de problemas. Transformaciones de una ecuación. Reducción de las ecuaciones a forma entera. Transformaciones de una inecuación. --
§ 6. Sistemas de ecuaciones lineales [298] --
Definiciones. Teorema fundamental de equivalencia. Método de reducción para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer. Sistema general de ecuaciones lineales. Sistemas de ecua-ciones lineales homogéneas. Ejercicios. --
Notas [808] --
Grupo de una función entera. Transformadas de una función entera. Sustituciones lineales. Teoría de los divisores elementales. Bibliografía. --
TERCERA PARTE --
EL NUMERO REAL --
CAPITULO VIII.—OPERACIONES ELEMENTALES. --
§ 1. Concepto de números real [313] --
Origen aritmético de los números irracionales. Magnitudes incomensurables. Cortaduras en el campo de los números racionales. Sistema de números reales. Igualdad y desigualdad de números reales. Representación geométrica de los números reales. --
§ 2. Sucesiones monótonas convergentes [318] --
Definición y teorema fundamental. Determinación de los números reales por sucesiones convergentes. --
§ 3. Adición y sustracción de números reales [321] --
Adición. Sustracción. Regla práctica de adición. Suma y resta de desigualdades. Valores absolutos de los números reales. --
§ 4. Multiplicación y división de números reales [325] --
Multiplicación. Productos de desigualdades. División. --
§ 5. Raíces de los números reales [328] --
Raíces por defecto y por exceso. Raíces exactas de los números reales. Cálculo de radicales. Racionalización de denominadores. Ejercicios. --
§ 6. Potencias de exponente racional [333] --
Definiciones. Cálculo de potencias de exponente racional. Variación de las potencias/ Ejercicios. --
§ 7. Límites de las sucesiones de números reales [337] --
Definiciones y ejemplos. Límites infinitos. Propiedades de los números finitos. Sucesiones contenidas en otra. Límites de sucesiones monótonas de números reales. Límites de oscilación. Criterio general de convergencia. --
§ 8. Potencias y logaritmos en el sistema real [344] --
Potencias de exponente real cualquiera. Propiedades de las potencias de exponente real. Ley de monotonía. Variación de las potencias de un número. Logaritmo de los números reales. Variación del logaritmo. 313; Cálculo logarítmico. --
§ 9. Cálculo de límites [350] --
Operación del paso al límite. Límite de una suma o diferencia. Límite de un producto. Límite de un cociente. Límite de los logaritmos y potencias. Límites de potencias en los casos singulares. --
§10. Cálculo de límites indeterminados [356] --
Casos de indeterminación. Límites de expresiones racionales. El número e. Límites indeterminados de potencias. Fórmula de Stirling. Convergencia de sucesiones deducidas linealmehte de otra. Aplicaciones del algoritmo lineal de convergencia. --
CAPITULO IX—ARITMETICA DECIMAL DE LOS NUMEROS REALES. --
§ 1. Expresión decimal de los números reales [363] --
Definiciones. Clasificación de las expresiones decimales. Error absoluto de un número aproximado. Cifras exactas de un número, aproximado. Error relativo de un número aproximado. --
§ 2. Cálculo con números decimales aproximados [372] --
Errores en las operaciones aritméticas. Límites de error de los productos, cocientes y raíces. Problema directo del cálculo de números aproximados. Problema inverso. --
§ 3. Logaritmos decimales [378] --
Propiedades fundamentales. Problema directo. Problema inverso. Tablas de logaritmos de sumas. Logaritmos de sumas y diferencias. Ejercicios. --
Notas [385] --
Cálculo numérico. Tablas de logaritmos. Historia de los logaritmos. Nomenclatura logarítmica. --
CAPITULO X—ALGORITMOS INDEFINIDOS. --
§ 1. Propiedades generales de las series [387] --
Definiciones. Serie geométrica. Ley de formación de los términos. Condición necesaria para la convergencia. Propiedades asociativa y distributiva. Criterio general de convergencia. --
§ 2. Series sumables [394] --
Preliminar. Fracciones decimales periódicas. Series alternadas. Sumación de series hipergeométricas. Límite del cociente de factoriales. Constante de Euler. Ejemplos de series sumables. --
§ 3. Series de términos positivos [402] --
Propiedades fundamentales. Comparación de dos series de términos positivos. Criterios previos de convergencia. Criterio de Raabe. Series armónicas. --
§ 4. Series de términos positivos y negativos [409] --
Generalidades. Teorema de Riemann. Teorema de Dirichlet. --
§ 5. Suma y producto de series [413] --
Adición de series convergentes. Multiplicación de series. Ejercicios. --
*§ 6. Series dobles [417] --
Sucesiones doblemente indefinidas. Series dobles. Series dobles de términos positivos. Series de términos positivos y negativos. Producto de dos series simples. Ejercicios. --
§ 7. Fracciones continuas indefinidas [424] --
Definiciones. Propiedades fundamentales. Desarrollo de un irracional en fracción continua. Aproximaciones de un número real por sus reducidas. Ejercicios. --
*§ 8. Irracionales cuadráticos y fracciones continuas periódicas [431] --
Irracionales cuadráticos. Parte entera de un irracional cuadrático. Desarrollo de los irracionales cuadráticos en fracción continua. Teorema de Lagrange. Cálculo de las fracciones continuas periódicos. Irracionales cuadráticas reducidos. Irracionales cuadráticos no reducidos. Ejercicios. --
Notas [442] --
Generalización del concepto de límite. Producto de series convergentes. Productos indefinidos. Ecuación de Pell. Determinantes indefinidos. Bibliografía. --
CUARTA PARTE --
EL NUMERO COMPLEJO --
CAPITULO XI.—OPERACIONES ELEMENTALES Y APLICACIONES --
§ 1. Concepto de número complejo [447] --
Origen aritmético de los números complejos. Definición del número complejo. Representación geométrica. Módulo y argumento. Números iguales, conjugados y opuestos. Ejercicios. --
§ 2. Operaciones racionales [452] --
Principio de permanencia de las leyes formales. Adición. Sustracción. Expresión binómica o cartesiana de los números complejos. Expresión factorial o polar. Representación geométrica de la adición. Multiplicación. División. Representación geométrica del producto y cociente. Escolio general. --
§ 3. Potencias y raíces [458] --
Potencias de exponente entero. Raíces de los números complejos. Representación gráfica de las raíces. Raíz cuadrada en forma binómica. Raíces de los números reales. Raíces primitivas de la unidad. Cálculo de las raíces de la unidad. Ejercicios. --
§ 4. Ecuaciones de segundo grado [465] --
Resolución y discusión. Suma y producto de las raíces. Regla de signos de Descartes. Variación del trinomio real de segundo grado. Inecuaciones de segundo grado. Resolución trigonométrica de la ecuación de segundo grado. Ejercicios. --
§ 5. Ecuaciones que se reducen a cuadráticas [471] --
Ecuación bicuadrada. Transformación de un radical doble en simples. Ecuaciones recíprocas. Otras ecuaciones que se reducen a cuadráticas. Sistemas cuadráticos de ecuaciones. Ejercicios. --
*§ 6. Ecuaciones de tercero y cuarto grado [476] --
Resolución de la ecuación cúbica. Discusión. Resolución de la ecuación cuártica. Descomposición factorial de los polinomios. --
*§ 7. Potencias y logaritmos en el sistema complejo [483] --
Potencias de base e. Logaritmos neperianos de los números complejos. Potencias de base y exponente complejos. --
*§ 8. Sucesiones indefinidas y series de términos complejos [486] --
Límites. Series de términos complejos. Convergencia absoluta. Operaciones con las series de términos complejos. --
*§ 9. Números complejos de varias unidades [490] --
Definición. Representación geométrica. Adición y sustracción. Forma polinómica. Multiplicación. Teorema final de la Aritmética Teorema fundamental de los números complejos. Sistemas complejos ternarios y cuaternarios. Cuadro de todos los sistemas irreductibles de 2, 3 y 4 unidades. --
§ 10. Cuaternios [498] --
Definiciones. Producto de cuaternios. Cuaternios conjugados. Representación geométrica. --
Notas [501] --
Reseña histórica. Aplicaciones trigonométricas. Divisibilidad en el campo complejo. Números algebraicos. Ideales. Bibliografía. --
Indice de autores. Indice de materias. --

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